矩阵乘法和逆

矩阵乘法

有m×n矩阵A和n×p矩阵B（A的总列数必须与B的总行数相等），两矩阵相乘有AB=C，C是一个m×p矩阵，对于C矩阵中的第i行第j列元素cij，有：

其中aik是A矩阵的第i行第k列元素，bkj是B矩阵的第k行第j列元素。

可以看出cij其实是A矩阵第i行点乘B矩阵第j列

矩阵的逆

首先，并不是所有的方阵都有逆；而如果逆存在，则有A−1 A = i = A A−1

对于方阵，左逆和右逆是相等的，但是对于非方阵（长方形矩阵），其左逆不等于右逆。

对于这些有逆的矩阵，我们称其为可逆的或非奇异的

那么如何判断矩阵是否有逆？

1）看这个矩阵的行列式值是否为0，若不为0则矩阵有逆

2）如果存在非零向量x，使得Ax=0，则矩阵A不可逆

如何求矩阵的逆？

接下来介绍高斯-若尔当（Gauss-Jordan）方法。

举例：

方程组 我们想要同时解这两个方程1

构造这样一个矩阵

接下来用消元法将左侧变为单位矩阵

而高斯-若尔当法的本质是使用消元矩阵E，对矩阵A进行操作，E[A|I],利用一步步消元有EA=I,进而得到[I|E],其实这个消元矩阵E就是A−1。