【数据结构和算法】寻找数组的中心下标

简介: 给你一个整数数组nums,请计算数组的中心下标。数组中心下标是数组的一个下标,其左侧所有元素相加的和等于右侧所有元素相加的和。如果中心下标位于数组最左端,那么左侧数之和视为0,因为在下标的左侧不存在元素。这一点对于中心下标位于数组最右端同样适用。如果数组有多个中心下标,应该返回最靠近左边的那一个。如果数组不存在中心下标,返回-1。

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前言

一、题目描述

二、题解

2.1 前缀和的解题模板

2.1.1 最长递增子序列长度

2.1.2 寻找数组中第 k 大的元素

2.1.3 最长公共子序列长度

2.1.4 寻找数组中第 k 小的元素

2.2 方法一:前缀和

三、代码

3.2 方法一:前缀和

四、复杂度分析

4.2 方法一:前缀和


前言

这是力扣的 724 题,难度为简单,解题方案有很多种,本文讲解我认为最奇妙的一种。

这是一道非常经典的前缀和问题,虽然看似简单,但它却能让你深入理解前缀和的特点。


一、题目描述

给你一个整数数组 nums ,请计算数组的 中心下标

数组 中心下标 是数组的一个下标,其左侧所有元素相加的和等于右侧所有元素相加的和。

如果中心下标位于数组最左端,那么左侧数之和视为 0 ,因为在下标的左侧不存在元素。这一点对于中心下标位于数组最右端同样适用。

如果数组有多个中心下标,应该返回 最靠近左边 的那一个。如果数组不存在中心下标,返回 -1

示例 1:

输入:nums = [1, 7, 3, 6, 5, 6]

输出:3

解释:

中心下标是 3 。

左侧数之和 sum = nums[0] + nums[1] + nums[2] = 1 + 7 + 3 = 11 ,

右侧数之和 sum = nums[4] + nums[5] = 5 + 6 = 11 ,二者相等。


示例 2:

输入:nums = [1, 2, 3]

输出:-1

解释:

数组中不存在满足此条件的中心下标。

示例 3:

输入:nums = [2, 1, -1]

输出:0

解释:

中心下标是 0 。

左侧数之和 sum = 0 ,(下标 0 左侧不存在元素),

右侧数之和 sum = nums[1] + nums[2] = 1 + -1 = 0 。


提示:

    • 1 <= nums.length <= 104
    • -1000 <= nums[i] <= 1000

    二、题解

    2.1 前缀和的解题模板

    前缀和算法是一种在处理数组或链表问题时常用的技巧,它可以有效地减少重复计算,提高算法的效率。下面是一些常见的使用前缀和算法的题目以及解题思路:

    2.1.1 最长递增子序列长度

    题目描述:给定一个无序数组,求最长递增子序列的长度。

    解题思路:可以使用前缀和和单调栈来解决这个问题。首先,遍历数组,计算出前缀和。然后,使用单调栈记录当前递增子序列的起始位置。遍历数组时,如果当前元素大于前缀和,说明可以扩展当前递增子序列,将当前位置入栈。如果当前元素小于等于前缀和,说明当前递增子序列已经结束,弹出栈顶元素。最后,栈中剩余的元素即为最长递增子序列的起始位置,计算长度即可。

    2.1.2 寻找数组中第 k 大的元素

    题目描述:给定一个无序数组和一个整数k,找到数组中第k大的元素。

    解题思路:可以使用前缀和和快速选择算法来解决这个问题。首先,计算出数组的前缀和。然后,使用快速选择算法在数组中找到第k小的元素。具体实现中,每次选择一个枢轴元素,将数组分成两部分,小于枢轴的元素和大于枢轴的元素。如果枢轴左边的元素个数小于k,则在左边的子数组中继续查找;如果枢轴左边的元素个数大于等于k,则在右边的子数组中继续查找。最后,当找到第k小的元素时,返回该元素即可。

    2.1.3 最长公共子序列长度

    题目描述:给定两个字符串,求最长公共子序列的长度。

    解题思路:可以使用动态规划算法来解决这个问题。如果字符串长度分别为m和n,则可以定义一个二维数组dp[m+1][n+1],其中dp[i][j]表示字符串s1的前i个字符和字符串s2的前j个字符的最长公共子序列长度。根据动态规划的思想,状态转移方程为dp[i][j] = max(dp[i-1][j-1], dp[i-1][j], dp[i][j-1])。如果s1[i-1]等于s2[j-1],则dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1;否则dp[i][j]取其他两种情况中的较大值。最终结果为dp[m][n]。

    2.1.4 寻找数组中第 k 小的元素

    题目描述:给定一个无序数组和一个整数k,找到数组中第k小的元素。

    解题思路:可以使用前缀和和快速选择算法来解决这个问题。具体实现与寻找第k大元素类似,只不过最后返回的是第k小的元素而非第k大的元素。

    2.2 方法一:前缀和

    题目仅说明是整数数组,无其他已知条件,因此考虑直接遍历数组。

    image.gif编辑

      • 设索引 i 对应变量「左侧元素相加和 leftSum」和「右侧元素相加和 rightSum」。
      • 遍历数组 nums ,每轮更新 leftSum 和 rightSum。
      • 遍历中,遇到满足 leftSum == rightSum 时,说明当前索引为中心下标,返回即可。
      • 若遍历完成,仍未找到「中心下标」,则返回 -1 。

      初始化时,相当于索引 i=−1 ,此时 leftSum = 0 , rightSum = 所有元素的和 。

      需要考虑大数越界问题。题目给定整数数组 nums ,并给定取值范围。

      题目的范围在 int 类型的取值范围内,因此 sum_left 和 sum_right 使用 int 类型即可。


      三、代码

      3.2 方法一:前缀和

      Java版本:

      class Solution {
          public int pivotIndex(int[] nums) {
              int leftSum = 0, rightSum = Arrays.stream(nums).sum();
              for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
                  rightSum -= nums[i];
                  if (leftSum == rightSum) return i;
                  leftSum += nums[i];
              }
              return -1;
          }
      }

      image.gif

      C++版本:

      class Solution {
      public:
          int pivotIndex(vector<int>& nums) {
              int leftSum = 0, rightSum = accumulate(nums.begin(), nums.end(), 0);
              for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
                  rightSum -= nums[i];
                  if (leftSum == rightSum) return i;
                  leftSum += nums[i];
              }
              return -1;
          }
      };

      image.gif

      Python版本:

      class Solution:
          def pivotIndex(self, nums: List[int]) -> int:
              left_sum, right_sum = 0, sum(nums)
              for i in range(len(nums)):
                  right_sum -= nums[i]
                  if left_sum == right_sum:
                      return i
                  left_sum += nums[i]
              return -1

      image.gif

      Go版本:

      package main
      func pivotIndex(nums []int) int {
          leftSum := 0
          rightSum := 0
          for _, v := range nums {
              rightSum += v
          }
          for i, v := range nums {
              rightSum -= v
              if leftSum == rightSum {
                  return i
              }
              leftSum += v
          }
          return -1
      }

      image.gif


      四、复杂度分析

      4.2 方法一:前缀和

      时间复杂度 O(N): 其中 N 为数组 nums 长度。求和操作使用 O(N) 线性时间,遍历 nums 最差使用 O(N) 线性时间。

      空间复杂度 O(1): 变量  leftSum ,  rightSum 使用常数大小空间。



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