算法的时间复杂度上

前言

在我们电脑中怎样去存储数据？

简单来说，内存和磁盘都是电脑存储数据的两个核心介质。不同在于，数据结构是在内存中管理数据。速度快，带电存储。数据库是在磁盘上管理数据。速度慢，不带电存储。永久保存，磁盘上的简单数据 都存储到文件中，复杂的文件 都存储到数据库中。数据库也是对数据的增删查改等功能实现。

什么时候需要在内存底下管理数据和在磁盘底下管理数据呢？

举个例子，当我们电脑打开微信，我们需要增删查改的信息时，这些信息都是存储在我们电脑的内存上的，磁盘上是找不到这些人的信息的。那为什么我们关闭电脑再次打开，这些信息还是存在呢？

打开微信------>根据信息管理特征（群名/分组）------>拉取腾讯服务器的上的信息------->根据数据结构将信息临时存放到我们的电脑内存上。永久存储其实是在腾讯的服务器上的磁盘上。

为什么不会存储在我们的磁盘上？

因为磁盘运行的速度太慢。不方便增删查改。

在前面的C语言学习中，我们写的通讯录就是包含顺序表/数组的数据结构，后面我们还会去学习链表/数/图/哈希表，

什么是数据结构？

数据结构(Data Structure)是计算机存储、组织数据的方式，指相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合。

什么是算法？

算法(Algorithm):就是定义良好的计算过程，他取一个或一组的值为输入，并产生出一个或一组值作为输出。简单来说算法就是一系列的计算步骤，用来将输入数据转化成输出结果。

算法的复杂度（算法效率）

如何去衡量一个算法的好坏？

在C语言中我们学习了递归。比如用递归实现斐波那契数列：

long long Fib(int N)
{
if(N < 3)
return 1;
return Fib(N-1) + Fib(N-2);
}

斐波那契数列的递归实现方式非常简洁，但简洁一定好吗？那该如何衡量其好与坏呢？

这时，我们引入一个【算法复杂度】的概念：

算法在编写成可执行程序后，运行时需要耗费时间资源和空间(内存)资源 。因此衡量一个算法的好坏，一般是从时间和空间两个维度来衡量的，即时间复杂度和空间复杂度。

时间复杂度主要衡量一个算法的运行快慢，而空间复杂度主要衡量一个算法运行所需要的额外空间。在计算机发展的早期，计算机的存储容量很小。所以对空间复杂度很是在乎。但是经过计算机行业的迅速发展，计算机的存储容量已经达到了很高的程度。所以我们如今已经不需要再特别关注一个算法的空间复杂度。 所以，在实际中我们谈论较多就是时间复杂度，即程序运行的效率和速度。

算法的时间复杂度

传统意义上，我们会觉得时间复杂度就是 不同的程序去实现需求 所需要的不同的S秒数。但是实际上，我们去比较S秒数，这是不科学和不准确的。

一个程序在不同的电脑上运行的时间是不同的，运行的S秒数取决于电脑的硬件。例如一个i7 32G的电脑和i3 4G的电脑，运行的S秒数肯定是不同的。没有一个标准去比较。

时间复杂度概念

时间复杂度的定义：在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个函数，它定量描述了该算法的运行时间。

一个算法执行所耗费的时间，从理论上说，是不能算出来的，只有你把你的程序放在机器上跑起来，才能知道。但是我们需要每个算法都上机测试吗？是可以都上机测试，但是这很麻烦，所以才有了时间复杂度这个分析方式。这个分析方式和机器的硬件是无关的。

一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例，算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度。

即：找到某条基本语句与问题规模N之间的数学表达式，就是算出了该算法的时间复杂度

大O的渐进表示法

大O符号（Big O notation）：是用于描述函数渐进行为的数学符号。

推导大O阶方法：

• 用常数1取代运行时间中的所有加法常数。所有常数都是O(N)
• 在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。取决定性的项。用极限的思维去考虑。
• 如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。去掉系数
• 【预期管理法】另外有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况

1. 最坏情况：任意输入规模的最大运行次数(上界)
2. 平均情况：任意输入规模的期望运行次数
3. 最好情况：任意输入规模的最小运行次数(下界)

• 在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况，所以数组中搜索数据时间复杂度为O(N)
• 特别提醒：双层嵌套循环不一定是O(N^2)，根据思想来求时间复杂度。
• 根据不同的思想求各自的时间复杂度，找到最优的，再写代码。

常见的时间复杂度计算示例

根据代码来计算

示例1

请计算一下Func1中++count语句总共执行了多少次？

void Func1(int N)
{
  int count = 0;
  for (int i = 0; i < N; ++i)
  {
    for (int j = 0; j < N; ++j)
    {
      ++count;
    }
  }
  for (int k = 0; k < 2 * N; ++k)
  {
    ++count;
  }
  int M = 10;
  while (M--)
  {
    ++count;
  }
  printf("%d\n", count);
}

实际中我们计算时间复杂度时，我们其实并不一定要计算精确的执行次数，而只需要大概执行次数，那么这里我们使用【大O的渐进表示法】。

通过上面我们会发现大O的渐进表示法去掉了那些对结果影响不大的项，简洁明了的表示出了执行次数。

示例2

计算Func2的时间复杂度？

void Func2(int N)
{
  int count = 0;
  for (int k = 0; k < 2 * N; ++k)
  {
    ++count;
  }
  int M = 10;
  while (M--)
  {
    ++count;
  }
  printf("%d\n", count);
}

示例3

计算Func3的时间复杂度？

void Func3(int N, int M)
{
  int count = 0;
  for (int k = 0; k < M; ++k)
  {
    ++count;
  }
  for (int k = 0; k < N; ++k)
  {
    ++count;
  }
  printf("%d\n", count);
}

示例4

计算Func4的时间复杂度？

void Func4(int N)
{
  int count = 0;
  for (int k = 0; k < 100; ++k)
  {
    ++count;
  }
  printf("%d\n", count);
}

• O(1)并不是代表1次，代表的是常数次。

示例5

计算strchr的时间复杂度？

const char * strchr ( const char * str, int character );