马尔可夫决策过程(Markov Decision Process,MDP)是一种用于描述决策者在马尔可夫环境中进行决策的数学模型。它由四个核心要素组成:状态(State)、动作(Action)、转移概率(Transition Probability)和奖励(Reward)。在 MDP 中,智能体(Agent)需要在给定的状态下选择一个动作,然后根据状态转移概率和奖励更新状态,最终目标是最大化累积奖励。
MDP 可以用以下四个基本方程表示:
- 状态转移方程(State Transition Equation):P(s'|s, a) = 转移概率,表示在给定状态下执行某个动作后,转移到新状态的概率。
- 奖励方程(Reward Equation):R(s, a) = 奖励,表示在给定状态下执行某个动作后,获得的奖励。
- 状态值方程(State Value Equation):V(s) = 期望奖励,表示在给定状态下,执行某个动作后,期望获得的累积奖励。
- 动作值方程(Action Value Equation):Q(s, a) = 期望奖励,表示在给定状态下,执行某个动作后,期望获得的累积奖励。
MDP 的解决方法之一是值迭代(Value Iteration),通过不断更新状态值和动作值矩阵,最终找到最优策略。
下面是一个简单的 MDP Demo:
import numpy as np
定义状态转移概率矩阵
transition_prob = np.array([[0.2, 0.5, 0.3],
[0.4, 0.1, 0.5],
[0.1, 0.8, 0.1]])
定义奖励矩阵
reward = np.array([[0, 1, 0],
[0, 0, 1],
[1, 0, 0]])
初始化状态值矩阵
V = np.zeros(3)
通过值迭代更新状态值矩阵
for _ in range(1000):
for i in range(3):
max_prob = 0
max_state = 0
for j in range(3):
prob = transition_prob[i][j] * V[j]
if prob > max_prob:
max_prob = prob
max_state = j
V[i] = max_prob
输出最终状态值矩阵
print("最终状态值矩阵:")
print(V)
定义动作值矩阵
Q = np.zeros((3, 3))
通过值迭代更新动作值矩阵
for _ in range(1000):
for i in range(3):
for j in range(3):
Q[i][j] = transition_prob[i][j] * V[j]
输出最终动作值矩阵
print("\n最终动作值矩阵:")
print(Q)
CopyCopy
应用场景包括:
- 游戏:MDP 可以用于训练游戏 AI,例如 AlphaGo、AlphaStar 等。
- 自动化控制:MDP 可以用于优化控制系统的决策,例如工业机器人、自动驾驶等。
- 资源调度:MDP 可以用于优化资源分配,例如电力系统、无线通信网络等。
- 推荐系统:MDP 可以用于优化推荐策略,例如电商网站、社交媒体等。