来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/smallest-rotation-with-highest-score
题目描述
给你一个数组 nums，我们可以将它按一个非负整数 k 进行轮调，这样可以使数组变为 [nums[k], nums[k + 1], ... nums[nums.length - 1], nums[0], nums[1], ..., nums[k-1]] 的形式。此后，任何值小于或等于其索引的项都可以记作一分。
例如，数组为 nums = [2,4,1,3,0]，我们按 k = 2 进行轮调后，它将变成 [1,3,0,2,4]。这将记为 3 分，因为 1 > 0 [不计分]、3 > 1 [不计分]、0 <= 2 [计 1 分]、2 <= 3 [计 1 分]，4 <= 4 [计 1 分]。
在所有可能的轮调中，返回我们所能得到的最高分数对应的轮调下标 k 。如果有多个答案，返回满足条件的最小的下标 k 。
示例 1： 输入：nums = [2,3,1,4,0] 输出：3 解释： 下面列出了每个 k 的得分： k = 0, nums = [2,3,1,4,0], score 2 k = 1, nums = [3,1,4,0,2], score 3 k = 2, nums = [1,4,0,2,3], score 3 k = 3, nums = [4,0,2,3,1], score 4 k = 4, nums = [0,2,3,1,4], score 3 所以我们应当选择 k = 3，得分最高。 示例 2： 输入：nums = [1,3,0,2,4] 输出：0 解释： nums 无论怎么变化总是有 3 分。 所以我们将选择最小的 k，即 0。 提示： 1 <= nums.length <= 105 0 <= nums[i] < nums.length
解题思路
根据题目最容易想到的是暴力法，尝试用暴力法做，将每个k下的nums数组求出来，统计所有得分，时间复杂度为O(n2)，不出所料超时了。
根据题意寻找规律，可以得出结论，每次k加1后，下标会-1，这个时候，原来比下标小的数会继续得分，下标比原来大的数会继续不得分，下标与原来相同的数，会从得分变成失分，下标为0的那个数，下标从0变成了n-1，会变得得分，那么递推公式就可以表示为Vali= Vali-1 - Count下标相同 + 1，只需要初始时候找到最初的val，找到k时候与k下标相同的元素数目，就可以通过一次遍历将所有的得分求出来，时间复杂度为O(n)。这里注意每一个元素必然有且只有一个k使得其下标与元素值相同，所以对于每一个元素值，可以直接找到使得其下标与元素值相同的k，时间复杂度为O(n).
本题还可以通过上下界和差分的方法来做，假设原坐标为i，那么修改后的坐标应该满足0 <= i - k <= n -1 可以推出，k的取值范围为[i - n + 1, i]，又从得分条件来说得到 i - k >= x，及k <= i - x，因为x取值范围是[0, n)，所以k的取值范围[a ,b]为[i - n + 1, i - x]，但是由于存在上下界会出现负数，需要取模为正，所以k的上下界可能出现 a > b的情况，这个时候，可得分的k范围应该为[0, i - n + 1],[i - x, n - 1]。那么，对于i 来说，k在区间[a,b]将会得分，所以可以有一个数组sk来记录每个k的得分情况，遍历每个i将对应区间的k分数分别+1，最终得分最高的k就是最终的解，但是如果这样做的话，时间复杂度仍然为O(n2)。可以使用前缀和+差分的思想，由于是区间修改，所以可以记录sk的一个差分数组diff，diff[i] = sk[i] - sk[i - 1],那么区间[a, b]范围内同时+1的情况，可以将diff[a] +=1, diff[b + 1] -= 1，便可以得到与sk在[a,b]范围内均+1的记录效果，在计算完成后，计算diff的[0, i]前缀和就是sk[i]的结果。
代码展示
暴力法：
class Solution { public: int bestRotation(vector<int>& nums) { int iRet = 0, iMax = 0, n = nums.size(); for(int i = 0; i < n; i++) { nums[i] -= i; } for (int i = 0; i < n; i++) { if (nums[i] <= 0) { iMax++; } } for(int i = 1; i < n; i++) { int iCount = 0; for(int j = 0; j < n; j++) { if(j == i - 1) { nums[j] = nums[j] - n + 1; } else { nums[j] = nums[j] + 1; } if(nums[j] <= 0) { iCount++; } } if(iCount > iMax) { iMax = iCount; iRet = i; } } return iRet; } };
找规律DP
class Solution { public: int bestRotation(vector<int>& nums) { int iRet = 0, iMax = 0, n = nums.size(), iVal = 0; for(int i = 0; i < n; i++) { if(nums[i] <= i) { iMax++; } } vector<int> steps(n, 0); for(int i = 0; i < n; i++) { if(i - nums[i] >= 0) { steps[i - nums[i]]++; } else { steps[i - nums[i] + n]++; } } iVal = iMax; for(int i = 1; i < n; i++) { iVal = iVal - steps[i - 1] + 1; if(iVal > iMax) { iMax = iVal; iRet = i; } } return iRet; } };
上下界+差分数组
class Solution { public: int bestRotation(vector<int>& nums) { int n = nums.size(); vector<int> diff(n, 0); int iRet = 0; for(int i = 0; i < n; i++) { int a = ((n - i + 1) + n) % n; int b = ((i - nums[i]) + n) % n; if(a <= b) { diff[a] += 1; if (b + 1 < n) { diff[b + 1] -= 1; } } else { diff[0] += 1; diff[b + 1] -= 1; diff[a] += 1; } } for(int i = 1; i < n; i++) { diff[i] += diff[i - 1]; } for(int i = 1; i < n; i++) { if(diff[iRet] < diff[i]) { iRet = i; } } return iRet; } };
运行结果
