前言

       我将KMP算法的详解分为三个篇章：

        【原理篇】：主要讲解KMP实现的原理，以及手动求NEXT数组。

     ->【数理篇】：主要讲解如何在手动求出NEXT数组的情况下，找出数学规律，为之后的算法实现奠定基础。

        【实现篇】：主要讲解以C语言代码的方式实现KMP算法，以及NEXT数组的优化。

      其余篇章将在之后更新

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前情提要：

       在原理篇当中我已经讲解了KMP中最核心的NEXT数组，以及他的求法：NEXT[j]存储了从PAT[0]到PAT[j-1]位置，以PAT[0]为首，PAT[j-1]为结尾的两个最长子字符串的长度位（可以重叠，但不能相等）。忘记的朋友们可以看看之前的篇章。

数理篇正式开始：

现在有这样一个NEXT数组，除了NEXT[0]与NEXT[1]是已经规定好的-1和0之外，其余的都要我们手动去求。在上一个篇章当中，我们学会了如何用手去求NEXT数组。但在实际生产过程当中，这种方法肯定是不可取的，那么NEXT数组的构成当中有什么规律呢？

我们先假设在NEXT数组当中，有两个指针，一个叫i一个叫k。

设有NEXT[i]=k，也就是可以通过NEXT数组的下标去访问K指针所在的位置，这一假设是以下的推论的大前提。

此时就有p[0]--p[k-1]（以首元素为头的子字符串）=p[x]--p[i-1](以i-1为尾的子字符串)这两个字符串相同，疑惑为什么相同的朋友们可以去看看NEXT数组的定义。那这里的X从哪里来的呢？

x是为了之后的推导，先假设出来的，如果不解继续往下看~

因为两字符串长度相同（定义），所以就存在关系 k-1-0=i-1-x，也就可以推导出x=i-k

此时再将x放回上文的推导关系，就有这样的一个关系p[0]--p[k-1]=p[i-k]--p[i-1]

情况1：PAT[i]=PAT[K]

当PAT[i]=PAT[K]时，也就是对应的两个字符相同，可以参考上图中i k对应的位置。又因为

p[0]--p[k-1]=p[i-k]--p[i-1]，p[i]=p[k](字符相同)，所以就有p[0]--p[k]=p[i-k]--p[i]，

又因为从next[i]=k可以推导出p[0]--p[k-1]=p[i-k]--p[i-1]，那么是不是p[0]--p[k]=p[i-k]--p[i]可以反向推导出next[i+1]=k+1！

那么也就可以得出情况一的结论：

在PAT[i]=PAT[k]的情况下，NEXT[i+1]=k+1。

那如果PAT[i]!=PAT[k]呢？那这就是我们的情况2

情况2：PAT[i]！=PAT[K]

那就非常简单粗暴了，k=NEXT[k],也就是一直往回退直到满足PAT[i]=PAT[k]这一情况时，在继续套用情况一进行推导。如图，此时PAT[i]！=PAT[K]，那么，就令k=NEXT[k]，也就是移动到，p[0]的位置，此时满足情况1PAT[i]=PAT[K]，所以此时的NEXT[i+1]=k+1,也就是NEXT[4]=1。

若退回到0位置时还不相等呢?那继续往下退到-1岂不是越界了？这里可以加一个判定，若退到0还不满足，可以直接令NEXT[i+1]=0(-1+1)，具体实现可以关注我下一篇KMP代码实现的讲解。

至此，本篇博客的内容九分钟带你弄懂KMP算法【数理篇】告一段落，若对你有些许帮助，可以点赞、关注、评论支持下博主，你的支持将是我前进路上最大的动力。

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诸君，山顶见！

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