第一题 集合求和
题目描述
给定一个集合 s(集合元素数量 ≤ 30),求出此集合所有子集元素之和。
输入格式
集合中的元素(元素 ≤ 1000)
输出格式
s所有子集元素之和。
样例 #1
样例输入 #1
2 3
样例输出 #1
10
提示
【样例解释】
子集为:∅ , { 2 } , { 3 } , { 2 , 3 },和为 2 + 3 + 2 + 3 = 10。
【数据范围】
对于 100 % 的数据,1 ≤ ∣ s ∣ ≤ 30 ,1 ≤ s i ≤ 1000 ,s所有子集元素之和 ≤ 。
解题思路
1)数学推理题目。
2)找规律发现,每个元素在 a 的每一个子集中出现的个数为 。
参考代码
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; int a[31]; long long s=0; int main() { int n=0; while(cin>>a[n++]); for(int i=0;i<n;i++) { s+=a[i]; } s*=pow(2,n-2); cout<<s; return 0; }
第二题 [NOIP2004 普及组] 火星人
题目描述
人类终于登上了火星的土地并且见到了神秘的火星人。人类和火星人都无法理解对方的语言,但是我们的科学家发明了一种用数字交流的方法。这种交流方法是这样的,首先,火星人把一个非常大的数字告诉人类科学家,科学家破解这个数字的含义后,再把一个很小的数字加到这个大数上面,把结果告诉火星人,作为人类的回答。
火星人用一种非常简单的方式来表示数字――掰手指。火星人只有一只手,但这只手上有成千上万的手指,这些手指排成一列,分别编号为 1 , 2 , 3 , ⋯ 。火星人的任意两根手指都能随意交换位置,他们就是通过这方法计数的。
一个火星人用一个人类的手演示了如何用手指计数。如果把五根手指――拇指、食指、中指、无名指和小指分别编号为 1 , 2 , 3 , 4 和 5,当它们按正常顺序排列时,形成了 5 位数 12345 ,当你交换无名指和小指的位置时,会形成 5 位数 12354,当你把五个手指的顺序完全颠倒时,会形成 54321 ,在所有能够形成的 120个 5位数中,12345 最小,它表示 1;12354 第二小,它表示 2;54321最大,它表示 120。下表展示了只有 3根手指时能够形成的 6个 3 位数和它们代表的数字:
三进制数 | 代表的数字 |
123 | 1 11 |
132 | 2 22 |
213 | 3 33 |
231 | 4 44 |
312 | 5 55 |
321 | 6 66 |
现在你有幸成为了第一个和火星人交流的地球人。一个火星人会让你看他的手指,科学家会告诉你要加上去的很小的数。你的任务是,把火星人用手指表示的数与科学家告诉你的数相加,并根据相加的结果改变火星人手指的排列顺序。输入数据保证这个结果不会超出火星人手指能表示的范围。
输入格式
共三行。
第一行一个正整数 N ,表示火星人手指的数目(1 ≤ N ≤ 10000 )。
第二行是一个正整数 M,表示要加上去的小整数(1 ≤ M ≤ 100)。
下一行是 1 到 N 这 N个整数的一个排列,用空格隔开,表示火星人手指的排列顺序。
输出格式
N个整数,表示改变后的火星人手指的排列顺序。每两个相邻的数中间用一个空格分开,不能有多余的空格。
样例 #1
样例输入 #1
5 3 1 2 3 4 5
样例输出 #1
1 2 4 5 3
提示
对于 30 %的数据,N ≤ 15 N 。
对于 60 % 的数据,N ≤ 50 。
对于 100 % 的数据,N ≤ 10000。
解题思路
1)模拟深度优先搜索的全排列问题
参考代码
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; int a[10005]; bool used[10005]={0}; int m,n; int main() { cin>>n>>m; for(int i=1;i<=n;i++) { cin>>a[i]; int x=a[i]; for(int j=1;j<=a[i];j++) x-=used[j]; used[a[i]]=1; a[i]=x-1; } a[n]+=m; for(int i=n;i>0;i--) { a[i-1]+=a[i]/(n-i+1); a[i]%=n-i+1; } memset(used,0,sizeof(used)); for(int i=1;i<=n;i++) { for(int j=0;j<=a[i];j++) if(used[j]) a[i]++; cout<<a[i]+1<<" "; used[a[i]]=1; } return 0; }
第三题 [NOIP2004 普及组] 最大约数和
题目描述
选取和不超过S的若干个不同的正整数,使得所有数的约数(不含它本身)之和最大。
输入格式
输入一个正整数S。
输出格式
输出最大的约数之和。
样例 #1
样例输入 #1
11
样例输出 #1
9
提示
样例说明
取数字4和6,可以得到最大值(1+2)+(1+2+3)=9。
数据规模
S<=1000
解题思路
1)对数据进行预处理,求出每个数的约数和。
2)简单的01背包问题。
参考代码
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; int i,j,n,a[1001],dp[1001]; int main() { cin>>n; for(i=1;i<=n/2;i++) for(j=2;i*j<=n;j++) a[i*j]+=i; for(i=1;i<=n;i++) for(j=i;j<=n;j++) dp[j]=max(dp[j],dp[j-i]+a[i]); cout<<dp[n]; return 0; }
第四题 [NOIP2004 普及组] 通天之分组背包
题目背景
直达通天路·小 A 历险记第二篇
题目描述
自 01背包问世之后,小 A 对此深感兴趣。一天,小 A 去远游,却发现他的背包不同于 01 背包,他的物品大致可分为 k组,每组中的物品相互冲突,现在,他想知道最大的利用价值是多少。
输入格式
两个数 m , n,表示一共有 n 件物品,总重量为 m 。
接下来 n行,每行 3个数 a i , b i , c i ,表示物品的重量,利用价值,所属组数。
输出格式
一个数,最大的利用价值。
样例 #1
样例输入 #1
45 3 10 10 1 10 5 1 50 400 2
样例输出 #1
10
提示
1 ≤ m , n ≤ 1000 。
解题思路
1)分组背包问题。
2)直接枚举每个组,再在每个组里进行01背包。
参考代码
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; long long dp[1050]; int a[1050],b[1050],c,C[1050]; int g[205][205]; int main() { int m,n; cin>>m>>n; int zu=0; for(int i=1;i<=n;i++) { cin>>a[i]>>b[i]>>c; zu=max(zu,c); C[c]++; g[c][C[c]]=i; } for(int i=1;i<=zu;i++) { for(int j=m;j>=0;j--) { for(int k=1;k<=C[i];k++) { if(j>=a[g[i][k]]) { dp[j]=max(dp[j],dp[j-a[g[i][k]]]+b[g[i][k]]); } } } } cout<<dp[m]; return 0; }