🌺图的基本介绍

🍁图的基本概念

在图形结构中，结点之间的关系可以是任意的，图中任意两个数据元素之间都可能相关。因此，图的应用更为广泛。

🍁 图的定义

Q：什么是最大堆

A：图 G 由两个集合 V 和 E 组成，记作 G=(V,E) 。其中 V 是顶点的有穷非空集合，E 是 V 中顶点偶对的有穷集合，这些顶点偶对称为边。V(G) 和 E(G) 通常分别表示图 G 的顶点集合和边集合。 E(G) 可以为空集，若 E(G) 为空集，则图 G 只有顶点而没有边。

🌺图的基本术语

1）有向图

Q：什么是有向图

A：若E是有向边(也称弧)的有限集合时，则图 G 为有向图。弧是顶点的有序对，记为 <v, w> ，其中 v,w 是顶点，v 称为弧尾，w 称为弧头，<v,w> 称为从顶点 v 到顶点 w 的弧，也称 v 邻接到w，也称为 w 邻接自 v 。

有向图 G：

G＝（V，E）

V(G)={v1,v2,v3,v4,v5}

E(G)={<v1,v2>,<v2,v1>,<v2,v3>,<v2,v5>,<v3,v5>,<v4,v1>,<v5,v2>}

2）无向图

Q：什么是无向图

A：若E是无向边(简称边)的有限集合时，则图G为无向图。边是顶点的无序对，记为 (v, w) 或 (w,v) ,因为 (v,w)=(w,v) , 其中 v,w 是顶点。可以说顶点 w 和顶点 v 互为邻接点。边 (v, w) 依附于顶点 w 和 v ，或者说边( v, w) 和顶点  v, w 相关联。

无向图 G：

G＝（V，E）

V(G)={v1,v2,v3,v4,v5}

E(G)={(v1,v2),(v1,v4),(v2,v4),(v3,v4),(v3,v5)}

3）简单图

Q：什么是简单图

A：一个图 G 若满足:不存在重复边，不存在顶点到自身的边，则称图 G 为简单图。数据结构中仅讨论简单图。

4）多重图

Q：什么是多重图

A：若图 G 中某两个结点之间的边数多于一条，又允许顶点通过同一条边和自己关联，则 G  为多重图。多重图的定义和简单图是相对的。

5）完全图

Q：什么是完全图

A：对于无向图，∣E∣ 的取值范围是 0 到 n(n-1)/2 ，有 n(n -1)/2 条边的无向图称为完全图。在完全图中任意两个顶点之间都存在边。对于有向图, |E| 的取值范围是 0 到 n(n-1) ，有 n(n-1) 条弧的有向图称为有向完全图，在有向完全图中任意两个顶点之间都存在方向相反的两条弧。

无向完全图

有向完全图

6）子图

Q：什么是子图

A：设有两个图 G=(V, E) 和  G'=(V', E') ，若  V' 是 V 的子集，且 E ′ 是 E 的子集，则称 G ′ 是 G 的子图。若有满足 V(G')= V(G) 的子图 G′，则称其为 G 的生成子图。

注意:并非 V 和 E 的任何子集都能构成 G 的子图，因为这样的子集可能不是图，即 E 的子集中的某些边关联的顶点可能不在这个 V 的子集中。

7）连通、连通图和连通分量

在无向图中，若从顶点 v到顶点 w有路径存在，则称 v 和 w 是连通的。

若图 G 中任意两个顶点都是连通的，称图 G 为连通图，否则称为非连通图。

无向图中的极大连通子图称为连通分量。

若一个图有 n 个顶点，并且边数小于 n − 1 ，则此图必是非连通图。

8）强连通图、强连通分量

在有向图中，若从顶点 v 到顶点 w 和从顶点 w 到项点 v 之间都有路径,则称这两个顶点是强连通的。

若图中任何一对顶点都是强连通的，则称此图为强连通图。

有向图中的极大强连通子图称为有向图的强连通分量。

注意:强连通图、强连通分量只是针对有向图而言的。一般在无向图中讨论连通性，在有向图中考虑强连通性。

9）顶点的度、入度和出度

无向图：以顶点 i 为端点的边数称为该顶点的度。

有向图：以顶点 i 为终点的入边的数目称为该顶点的入度。以顶点 i 为始点的出边的数目称为该顶点的出度。一个顶点的入度和出度和称为该顶点的度。

10）边的权和网

在一个图中，每条边都可以标上具有某种含义的数值，该数值称为该边的 权值。这种边上带有权值的图称为 带权图，也称网。

11)生成树、生成森林

连通图的生成树是包含图中全部顶点的一个极小连通子图。若图中顶点数为 n ,则它的生成树含有 n-1 条边。对生成树而言，若砍去它的一条边，则会变成非连通图，若加上一条边则会形成一个回路。在非连通图中，连通分量的生成树构成了非连通图的生成森林。

12)稠密图、稀疏图

边数很少的图称为稀疏图，反之称为稠密图。稀疏和稠密本身是模糊的概念，稀疏图和稠密图常常是相对而言的。一般当图 G 满足  |E| < |V|log|V| 时，可以将 G 视为稀疏图。

13）路径、路径长度和回路

顶点 vp 到顶点 vq 之间的一条路径是指顶点序列 vp,vi1,vi2,...,vim,vq 当然关联的边也可以理解为路径的构成要素。路径上边的数目称为路径长度。第一个顶点和最后一个顶点相同的路径称为回路或环。若一个图有 n 个顶点，并且有大于 n-1 条边，则此图一定有环。

🌺图的存储结构

图的存储必须完整准确的反映顶点集和边集的信息，下面我们介绍两种简单的方法。

🍁邻接矩阵

图的邻接矩阵存储方式是用两个数组来表示图。一个一维数组 V 存储图中顶点信息，一个二维数组(称为邻接矩阵) A 存储图中的边或弧的信息。

设 G=(V，E) 是具有n个顶点的图，顶点的顺序为（v0，v1 ，… ，vn－1），则G的邻接矩阵A：

下图是一个无向图和它的邻接矩阵：

通过观察不难发现：

1）无向图的邻接矩阵是一个对称矩阵，且主对角线都为 0 。

2）我们要知道某个顶点的度，其实就是这个顶点 Vi 在邻接矩阵中第 i 行(或第 i 列)的元素之相。比如顶点 V1 的度就是 0+1+0+1+0=2 。

3）求顶点 vi 的所有邻接点就是将矩阵中第 i 行元素扫描一遍， A[i][j] 为 1 就是邻接点。

下图是一个有向图和它的邻接矩阵：

 通过观察不难发现：

1）有向图的邻接矩阵不是一个对称矩阵，且主对角线都为 0 。

2）有向图讲究入度与出度，顶点 V1 的入度为 1 ,正好是第 V1 列各数之和。顶点 V1 的出度为 2，即第 V1 行的各数之和。

对于带权图来说，若顶点 Vi 和 Vj 之间有边相连，则邻接矩阵中对应项存放着该边对应的权值

下图是有向网图和它的邻接矩阵：

💬 代码演示

通过上文，我们可以定义出邻接矩阵的存储结构：

#define MAXNum  100       //顶点的最大值 
typedef  char  VertexType;    //顶点信息为字符类型
typedef  struct
{   
    VertexType   Vex[MAXNum];    //顶点表 
    int   arcs[MAXNum][MAXNum];  //邻接矩阵
    int   vexnum,arcnum;         //顶点数和边数
}MGraph;

🍁邻接表

当一个图为稀疏图时，使用邻接矩阵法显然要浪费大量的存储空间，图的邻接表法结合了顺序存储和链式存储方法，可以大大减少这种不必要的浪费。

邻接表的处理办法：

 图中顶点用一个一维数组存储，当然也可以用单链表来存储。用数组可以较容易的读取顶点信息，更加方便。另外，对于顶点数组中，每个数据元素还需要存储指向第一个邻接点的指针，以便于查找该顶点的边信息。

图中每个顶点 vi 的所有邻接点构成一个线性表。由于邻接点的个数不定，所以用单链表存储，无向图称为顶点 vi 的边表，有向图则称为以 vi 为弧尾的出边表。

下图是一个无向图的邻接表结构：

邻接表存储的图具有的特点：

邻接表表示不唯一。取决于单链表的创建算法和边的输入次序。

对于无向图，邻接表的顶点 vi 对应的第i个链表的边结点数目正好是顶点 vi 的度。

对于有向图，邻接表的顶点 vi 对应的第 i 个链表的边结点数目仅是顶点 vi 的出度。入度为所有邻接点域为 i 的边结点的数目。

💬 代码演示

#define MAXVEX 100  //图中顶点数目的最大值
typedef char VertexType;  
typedef int EdgeType; 
//边表结点
typedef struct EdgeNode{
  int adjvex;                 //该弧所指向的顶点的下标或者位置
  EdgeType weight;         //权值，对于非网图可以不需要
  struct EdgeNode *next;     //指向下一个邻接点
}EdgeNode;
//顶点表结点
typedef struct VertexNode{
  Vertex data;             //顶点域，存储顶点信息
  EdgeNode *firstedge         //边表头指针
}VertexNode, AdjList[MAXVEX];
//邻接表
typedef struct{
  AdjList adjList;
  int numVertexes, numEdges;  //图中当前顶点数和边数
}