正文

关系的自反、对称和传递闭包定义

设R是非空集合A 上的关系，R 的自反(对称、传递)闭包是A 上的关系R ′ ，且R ′ 满足以下条件：

R ′ 是自反(对称、传递)的R ⊆ R′对A 上的任何包含R的自反(对称、传递)关系R ′ ′都有R ′ ⊆ R ′ ′

一般将R的自反闭包(reflexive)记作r ( R )，对称闭包(symmetry)记作s ( R ) ，传递闭包(transfer)记作t ( R )

构造A 上关系的R包

设R为非空集合A 上的关系，则有定理：

例：设A = { a , b , c , d } ，R={,,,}，则R 和r ( R ) 、 s ( R ) 、 t ( R )如图所示：

R :

r(R):节点作圈

s(R):节点互逆

t(R):首尾连接

设R的关系矩阵为M 相应的自反、对称、传递闭包的矩阵为M r  、M s，M t ，将以上三条定理公式转化为矩阵表示。即得：

其中E 为同阶单位矩阵，M ′ 为M的转置

例：设A={a,c,b,d},R=,,,:则Mr、Ms、Mt

如下所示