文章目录
一、全序关系 ( 线序关系 )
二、全序关系示例
三、拟序关系
四、拟序关系定理 1
四、拟序关系定理 2
五、三歧性、拟线序
一、全序关系 ( 线序关系 )
A AA 集合与该集合之上的 偏序关系 ≼ \preccurlyeq≼ 组成的有序对是 : < A , ≼ > <A, \preccurlyeq><A,≼> 偏序集 ;
A AA 集合中 任意元素 x , y x, yx,y 都 可比 ;
则称 ≼ \preccurlyeq≼ 关系是 A AA 集合上的 全序关系, 又称为 线序关系 ;
称 < A , ≼ > <A, \preccurlyeq><A,≼> 为全序集 ( 线序集 ) ;
< A , ≼ > <A, \preccurlyeq><A,≼> 偏序集 是全序集
当且仅当
< A , ≼ > <A, \preccurlyeq><A,≼> 偏序集的哈斯图是一条直线
二、全序关系示例
非空集合 A AA 包含于 实数集 R RR , ∅ ≠ A ⊆ R \varnothing \not= A \subseteq R∅
=A⊆R ,
A AA 集合上的 大于等于 ≥ \geq≥ , 小于等于 ≤ \leq≤ 都是 A AA 集合上的 全序关系 ,
< A , ≤ > <A , \leq><A,≤> , < A , ≥ > <A , \geq><A,≥> 是 全序集 ;
哈斯图是一条直线 ;
三、拟序关系
非空集合 A AA , 二元关系 R RR 是 A AA 集合上的二元关系 ;
符号化表示 : A ≠ ∅ A \not= \varnothingA
=∅ , R ⊆ A × A R \subseteq A \times AR⊆A×A ;
如果 二元关系 R RR 是 反自反 , 传递 的 ,
则称 R RR 关系是 A AA 集合上的拟序关系 ,
使用 ≺ \prec≺ 表示拟序关系 ,
称 < A , ≺ > <A , \prec><A,≺> 是拟序集 ;
偏序关系 ≼ \preccurlyeq≼ 是 小于等于 关系 , 拟序关系 ≺ \prec≺ 就是 严格小于 关系 ;
拟序关系示例 : 大于 , 小于 , 真包含 , 都是拟序关系 ;
拟序关系 完整的性质是 反自反 , 反对称 , 传递 ,
之所以概念中没有提 反对称 性质 , 是因为 根据 反自反 , 传递性质 , 可以推导出 反对称 性质 ;
数学中倾向于使用最小的条件进行定义 , 因此这里将反对称性去掉 ;
四、拟序关系定理 1
非空集合 A AA , A ≠ ∅ A \not= \varnothingA
=∅ ,
≼ \preccurlyeq≼ 是非空集合 A AA 上的偏序关系 ,
≺ \prec≺ 是非空集合 A AA 上的拟序关系 ;
① 偏序关系性质 : ≼ \preccurlyeq≼ 是 自反 , 反对称 , 传递的
② 拟序关系性质 : ≺ \prec≺ 是 反自反 , 反对称 , 传递的
③ 偏序关系 -> 拟序关系 : 偏序关系 减去 恒等关系 就是 拟序关系 , ≼ − I A = ≺ \preccurlyeq - I_A = \prec≼−I
A
=≺
④ 拟序关系 -> 偏序关系 : 拟序关系 与 恒等关系 的并集就是 偏序关系 , ≺ ∪ I A = ≼ \prec \cup I_A = \preccurlyeq≺∪I
A
=≼ ;
四、拟序关系定理 2
非空集合 A AA , A ≠ ∅ A \not= \varnothingA
=∅ ,
≺ \prec≺ 是非空集合 A AA 上的拟序关系 ;
① x ≺ y x \prec yx≺y , x = y x=yx=y , y ≺ x y \prec xy≺x 中最多有一个成立 ;
使用反证法 , 任意两个成立都会导致 x ≺ x x \prec xx≺x ;
② ( x ≺ y ∧ x = y ) ∧ ( y ≺ x ∧ x = y ) ⇒ x = y (x\prec y \land x = y) \land (y \prec x \land x=y) \Rightarrow x = y(x≺y∧x=y)∧(y≺x∧x=y)⇒x=y
五、三歧性、拟线序
非空集合 A AA , A ≠ ∅ A \not= \varnothingA
=∅ ,
≺ \prec≺ 是非空集合 A AA 上的拟序关系 ;
如果 x ≺ y x \prec yx≺y , x = y x=yx=y , y ≺ x y \prec xy≺x 中仅有一个城里 , 那么称 ≺ \prec≺ 拟序关系 具有 三歧性 ;
有三歧性的 逆序关系 ≺ \prec≺ 称为 A AA 集合上的 拟线序关系 , 又称为拟全序关系 ;
< A ≺ > <A \prec><A≺> 被称为 拟线序集 ;
