集合论—关系的运算和性质

简介: 集合论—关系的运算和性质

正文


关系的定义

关系是一个有序对集合或空集合,关系之间做运算以后依然是关系。


关系的定义域(dom R ),值域(ran R )和域( RfldR)


00000000000000000000000000.png

其中< x , y > ∈ R 表示x 经过R 运算变换得到y ,也可以记作x R y


关系的运算


关系的逆、复合(合成)、限制和像

000000000000000000000.png为任意关系,A = { 1 , 2 } 为集合

R的逆,记作R − 1

00000000000000000.png

00000000000000.png

RR与S 的复合,复合分为左复合和右复合,一般情况下"复合"一词指的就是右复合,记作R ∘ S

左复合:00000000000.png

右复合:000000000.png

例:左复合:00000000.png右复合:0000000.png

R 在A 上的限制,记作R ↾ A

00000.png

例:0000.png

A在F 下的像,记作F [ A ]

000.png

例:00.png

以上定义的运算是关系的基本运算


基本运算的主要性质


设R、S、T 是任意的关系,则有

0.png


0.png

关系的幂运算


设R 为A 上的关系,R ∘ R 可以简记为 R^2,称为R的二次幂。一般地可以定义R的n 次幂为R^n且有:

1.png

由定义可知R^0R就是A 上的恒等关系I A 不难证明:

2.png

由此等式可以得到:

3.png

例如:设A = { 1 , 2 , 4 , 5 } 有二元关系R=\{<1,2>,<2,1>,<4,2>,<5,1>},则有:

4.png

关系幂运算定理*

设R 为A 上的关系,m 、n是自然数,则下列等式成立


5.png


关系的性质


设R 是A上的关系,R 的性质主要有以下5种:自反性、反自反性、对称性、反对称性和传递性。


6.png

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