卷积计算
卷积是数学分析中的一种积分变换的方法，在图像处理中采用的是卷积的离散形式。这里需要说明的是，在卷积神经网络中，卷积层的实现方式实际上是数学中定义的互相关 （cross-correlation）运算，与数学分析中的卷积定义有所不同，这里跟其他框架和卷积神经网络的教程保持一致，都使用互相关运算作为卷积的定义，具体的计算过程如 图 所示。
互相关计算
虽然卷积层得名于卷积（convolution） 运算，但我们通常在卷积层中使用更加直观的互相关（cross-correlation） 运算。在二维卷积层中，一个二维输入数组和一个二维核（kernel）数组通过互相关运算输出一个二维数组。我们用一个具体的例子来解释二维互相关运算的含义。如上图所示。
卷积核（kernel）也被叫做滤波器（filter），假设卷积核的高和宽分别为 $k_h$和$k_w$，则将称为$k_h \times k_w$卷积，比如$3 \times 5$卷积，就是指卷积核的高为3，宽为5。
- 如上图（a）所示：左边的图大小是$3 \times 3$，表示输入数据是一个维度为$3\times3$的二维数组；中间的图大小是$2\times2$，表示一个维度为$2\times2$的二维数组，我们将这个二维数组称为卷积核。先将卷积核的左上角与输入数据的左上角(即：输入数据的(0,0)位置)对齐，把卷积核的每个元素跟其位置对其的输入数据中的元素相乘，再把卷积相加，得到卷积输出的第一个结果：
$0\times1 + 1\times2 + 2\times4 + 3\times5 = 25$ (a)
图中( b ), ( c ) ,(d )计算方法与上面雷同，相信聪明的大家不需要我再过多演示。
卷积核的计算过程可以用下面的数学公式表示，其中$a$代表输入图片，$b$代表输出特征图，$w$是卷积核参数，它们都是二维数组。
$b[i,j] =\displaystyle \sum_{u,v}a[i + u, j+v]\cdot w[u,v]$
举例说明，加入上图中卷积核大小是$2\times2$，则$u$可以取0和1，$v$也可以取0和1，也就是说：
$b[i,j] = a[i+0,j+0]\cdot w[0,0] + a[i+0,j+1]\cdot w[0,1] + a[i+1,j+0]\cdot w[1,0]
+a[i+1,j+1]\cdot w[1,1]$
我们可以验证一下它的正确性，当$[i,j]$取不同值的时候，根据此公式计算的结果与上图的例子是否一致。
补充：
在卷积神经网络中，一个卷积算子除了上面描述的卷积过程之外，还包括加上偏置项的操作。例如假设偏置为1，则上面卷积计算的结果为：
$$0\times1+1\times2+2\times4+3\times5 +1=26$$
$$0\times2+1\times3+2\times5+3\times6 +1=32$$
$$0\times4+1\times5+2\times7+3\times8 +1=44$$
$$0\times5+1\times6+2\times8+3\times9 +1=50$$
练习
学完知识后，我们来做一道题进行下练习，帮助我们充分掌握卷积的运算。
题目：计算卷积中一共有多少次乘法和加法操作
输入数据形状是$[10,3,224,224]$,卷积核$k_h = k_w = 3$,输出通道数为64，步幅$stride=1$，填充$p_h=p_w=1$。
则完成这样一个卷积，一共需要做多少次乘法和加法操作？
- 提示
先看输出一个像素点需要做多少次乘法和加法操作，然后再计算总共需要的操作次数。
做题步骤：
- 先考虑只有一个输入通道时候的二维卷积：
假设输出是B，输入是A，先计算B的一个像素点，
其中，一共有9个乘法，8个加法操作。
但是一般我们输入的图片都是RGB三通道的，所以我们需要计算每个通道$B^{(c=0)}_{00},B^{(c=1)}_{00},B^{(c=2)}_{00}$，总共的乘法操作次数为$3\times9=27$,加法操作次数为$3\times8=24$次。
- 然后再将这些输入通道的数值相加，并且加上偏置参数 $b$
$$B_{00}=B^{(c=0)}_{00}+B^{(c=1)}_{00}+B^{(c=2)}_{00}+b$$
由于需要额外引入3次加法操作，所以最后总的加法操作次数是$24+3=27$
由此可得计算出一个像素点需要乘法操作次数是27，加法操作次数也是27。
- 输出特征图的大小是$[10,64,224,224]$，则总共需要乘法操作次数是：
$$27\times10\times64\times224\times224=867041280$$
加法操作次数和乘法操作次数相同都是867041280。
