深度学习：手写反向传播算法（BackPropagation）

前置知识回顾

损失函数：交叉熵
优化方法：SGD与GD
网络结构：多层感知机是如何运作的
链式法则：

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前向传播

首先定义一个简单的三层全连接神经网络，其中为了方便运算，我们省略了激活函数与偏置系数b，网络结构如图所示：

                                         ![请添加图片描述](https://ucc.alicdn.com/images/user-upload-01/e6b1d5a8895744b3ae907ea6c7cb0f51.jpeg)

下面我们开始前向计算：

1.在这里我们发现，其中计算的结果也就是隐藏层神经元的数值z1与z2，那么不难看出，我们把这次计算的输出当作下次计算的输入，就可以计算出z3与z4，这样逐层传播，就是上述网络的前想传播过程。
2.当我们得到网络的结果矩阵z3与z4，下面我们要通过代价函数计算损失
为了方便运算，我们采用均方误差（MSE）来计算损失计算过程如下：

其中y假设为真实值。
上述过程就是前向计算的过程。

反向传播

计算完代价函数，我们就需要更新我们的参数，之前我们学习的梯度梯度下降法只能更新一层神经网络的参数，而在多层网络中，我们需要用到链式法则的知识来得到其他层参数的偏导数，就可以逐层更新参数。具体过程如下：
我们从后往前更新参数：
首先计算损失函数对第二层网络参数的偏导数
$$\begin{vmatrix} \dfrac{\partial l_1}{\partial w_5} & \dfrac{\partial l_{1}}{\partial w_7} \\ \dfrac{\partial l_{2}}{\partial w_6} & \dfrac{\partial l_{2}}{\partial w_8} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}
\dfrac{\partial l_{1}}{\partial z_{3}}\dfrac{\partial z_3,}{\partial w_5} & \dfrac{\partial l_{4}}{\partial z_{3}}\dfrac{\partial z_{3}}{\partial w_7} \
\dfrac{\partial l_{2}}{\partial z_{4}}\dfrac{\partial z_4}{\partial W_6} & \dfrac{\partial l_{2}}{\partial z_{4}}\dfrac{\partial z_4}{\partial W_{8}}
\end{vmatrix}$$
计算偏导数后，我们可以通过梯度下降法更新参数(这里假设a为学习率)：

$$ \begin{vmatrix} w_{5}-a\dfrac{ \partial l_{1}}{\partial w_5} & w_{7}-a\dfrac{\partial l_1}{\partial w_1}, \\ w_{6}-a\dfrac{\partial l_{2}}{\partial w_6} & w_{8}-a\dfrac{\partial l_{2}}{\partial w_8} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} w_{5*} & w_{7*}\\ w_{6*}& w_{8*} \end{vmatrix} $$

接着，我们就继续向前跟新，这里损失函数对参数的偏导数为：
$$ \dfrac{\partial l_{1}}{\partial w_{1}}=\dfrac{\partial l_{1}}{\partial z_{1}}\dfrac{\partial z_{1}}{\partial w_1}=\dfrac{\partial l_{1}}{\partial z_{3}}\dfrac{\partial z_3}{\partial z_{1}}\dfrac{\partial z_{1}}{\partial w_{1}} $$
有了偏导数，我们就可以重复上述操作，直至更新完所有参数。

代码实现

import torch.nn as nn
import torch.nn.functional as F

x = torch.tensor([2.0,2.0],requires_grad=True)
class model(nn.Module):
    def __init__(self,x):
        super(model, self).__init__()
        self.x = x
        self.fc1 = nn.Linear(2, 2)
        self.fc2 = nn.Linear(2, 2)
    def forward(self):
        x = self.fc1(self.x)
        x = self.fc2(x)
        return x
    
    
x = model(x).forward() 
x = x.sum().backward()