一、有向图

在实际生活中，很多应用相关的图都是有方向性的，最直观的就是网络，可以从A页面通过链接跳转到B页面，那么a和b连接的方向是a->b,但不能说是b->a,此时我们就需要使用有向图来解决这一类问题，它和我们之前学习的无向图，最大的区别就在于连接是具有方向的，在代码的处理上也会有很大的不同。

1.1 有向图的定义及相关术语

定义：

有向图是一副具有方向性的图，是由一组顶点和一组有方向的边组成的，每条方向的边都连着一对有序的顶点。

出度：

由某个顶点指出的边的个数称为该顶点的出度。

入度：

指向某个顶点的边的个数称为该顶点的入度。

有向路径：

由一系列顶点组成，对于其中的每个顶点都存在一条有向边，从它指向序列中的下一个顶点。

有向环：

一条至少含有一条边，且起点和终点相同的有向路径。

一副有向图中两个顶点 v和w可能存在以下四种关系：

1.没有边相连；

2.存在从v到w的边v—>w;

3.存在从w到v的边w—>v;

4.既存在w到v的边，也存在v到w的边，即双向连接；

理解有向图是一件比较简单的，但如果要通过眼睛看出复杂有向图中的路径就不是那么容易了。

1.2 有向图API设计

在api中设计了一个反向图，其因为有向图的实现中，用adj方法获取出来的是由当前顶点v指向的其他顶点，如果能得到其反向图，就可以很容易得到指向v的其他顶点。

1.3 有向图实现

public class Digraph { 
  //顶点数目
  private final int V;
  //边的数目
  private int E;
  //邻接表
  private Queue<Integer>[] adj;
  public Digraph(int V){
    //初始化顶点数量
    this.V = V;
    //初始化边的数量
    this.E=0;
    //初始化邻接表
    this.adj = new Queue[V];
    //初始化邻接表中的空队列
    for (int i = 0; i < adj.length; i++) {
      adj[i] = new Queue<Integer>();
    }
    }
    //获取顶点数目
    public int V(){
      return V;
    }
    //获取边的数目
    public int E(){
      return E;
    }
    //向有向图中添加一条边 v->w
    public void addEdge(int v, int w) {
      //由于有向图中边是有向的，v->w 边，只需要让w出现在v的邻接表中，而不需要让v出现在w的邻接表中
      adj[v].enqueue(w);
      //边的数目自增1
      E++;
    }
    //获取由v指出的边所连接的所有顶点
    public Queue<Integer> adj(int v){
      return adj[v];
    }
    //该图的反向图
    private Digraph reverse(){
      //创建新的有向图对象
      Digraph r = new Digraph(V);
      //遍历0~V-1所有顶点,拿到每一个顶点v
      for (int v=0;v<V;v++){
        //得到原图中的v顶点对应的邻接表,原图中的边为 v->w,则反向图中边为w->v;
        for (Integer w : adj(v)) {
          r.addEdge(w,v);
        }
      }
    return r;
  }
}

二、扑排序

在现实生活中，我们经常会同一时间接到很多任务去完成，但是这些任务的完成是有先后次序的。以我们学习java学科为例，我们需要学习很多知识，但是这些知识在学习的过程中是需要按照先后次序来完成的。从java基础，到jsp/servlet，到ssm，到springboot等是个循序渐进且有依赖的过程。在学习jsp前要首先掌握java基础和html基础，学习ssm框架前要掌握jsp/servlet之类才行。

为了简化问题，我们使用整数为顶点编号的标准模型来表示这个案例：

此时如果某个同学要学习这些课程，就需要指定出一个学习的方案，我们只需要对图中的顶点进行排序，让它转换为一个线性序列，就可以解决问题，这时就需要用到一种叫拓扑排序的算法。

拓扑排序：

给定一副有向图，将所有的顶点排序，使得所有的有向边均从排在前面的元素指向排在后面的元素，此时就可以明确的表示出每个顶点的优先级。下列是一副拓扑排序后的示意图：

2.1 检测有向图中的环

如果学习x课程前必须先学习y课程，学习y课程前必须先学习z课程，学习z课程前必须先学习x课程，那么一定是有问题了，我们就没有办法学习了，因为这三个条件没有办法同时满足。其实这三门课程x、y、z的条件组成了一个环：

因此，如果我们要使用拓扑排序解决优先级问题，首先得保证图中没有环的存在

2.1.1 检测有向环的API设计

2.1.2 检测有向环实现

在API中添加了onStack[] 布尔数组，索引为图的顶点，当我们深度搜索时：

1.在如果当前顶点正在搜索，则把对应的onStack数组中的值改为true，标识进栈；

2.如果当前顶点搜索完毕，则把对应的onStack数组中的值改为false，标识出栈；

3.如果即将要搜索某个顶点，但该顶点已经在栈中，则图中有环；

代码：

public class DirectedCycle {
  //索引代表顶点，值表示当前顶点是否已经被搜索
  private boolean[] marked;
  //记录图中是否有环
  private boolean hasCycle;
  //索引代表顶点，使用栈的思想，记录当前顶点有没有已经处于正在搜索的有向路径上
  private boolean[] onStack;
  //创建一个检测环对象，检测图G中是否有环
  public DirectedCycle(Digraph G){
    //创建一个和图的顶点数一样大小的marked数组
    marked = new boolean[G.V()];
    //创建一个和图的顶点数一样大小的onStack数组
    onStack = new boolean[G.V()];
    //默认没有环
    this.hasCycle=false;
    //遍历搜索图中的每一个顶点
    for (int v = 0; v <G.V(); v++) {
      //如果当前顶点没有搜索过，则搜索
      if (!marked[v]){
        dfs(G,v);
      }
    }
  }
  //基于深度优先搜索，检测图G中是否有环
  private void dfs(Digraph G, int v){
    //把当前顶点标记为已搜索
    marked[v]=true;
    //让当前顶点进栈
    onStack[v]=true;
    //遍历v顶点的邻接表，得到每一个顶点w
    for (Integer w : G.adj(v)){
      //如果当前顶点w没有被搜索过，则递归搜索与w顶点相通的其他顶点
      if (!marked[w]){
        dfs(G,w);
      }
    //如果顶点w已经被搜索过，则查看顶点w是否在栈中，如果在，则证明图中有环，修改hasCycle标记，结束循环
      if (onStack[w]){
        hasCycle=true;
        return;
      }
    }
    //当前顶点已经搜索完毕，让当前顶点出栈
    onStack[v]=false;
  }
  //判断w顶点与s顶点是否相通
  public boolean hasCycle(){
    return hasCycle;
  }
}
//测试代码
public class DirectedCycleTest {
  public static void main(String[] args) throws Exception {
    //创建输入流
    BufferedReader reader = new BufferedReader(new
    InputStreamReader(DirectedCycleTest.class.getClassLoader().getResourceAsStream("cycle_test.txt")));
    //读取顶点个数，初始化Graph图
    int number = Integer.parseInt(reader.readLine());
    Digraph G = new Digraph(number);
    //读取边的个数
    int roadNumber = Integer.parseInt(reader.readLine());
    //读取边，并调用addEdge方法
    for (int i = 0; i < roadNumber; i++) {
      String line = reader.readLine();
      int p = Integer.parseInt(line.split(" ")[0]);
      int q = Integer.parseInt(line.split(" ")[1]);
      G.addEdge(p, q);
    }
    //创建测试检测环对象
    DirectedCycle cycle = new DirectedCycle(G);
    //输出图中是否有环
    System.out.println(cycle.hasCycle());
  }
}

2.2 基于深度优先的顶点排序

如果要把图中的顶点生成线性序列其实是一件非常简单的事，之前我们学习并使用了多次深度优先搜索，我们会发现其实深度优先搜索有一个特点，那就是在一个连通子图上，每个顶点只会被搜索一次，如果我们能在深度优先搜索的基础上，添加一行代码，只需要将搜索的顶点放入到线性序列的数据结构中，我们就能完成这件事。

2.2.1 顶点排序API设计

2.2.2 顶点排序实现

在API的设计中，我们添加了一个栈reversePost用来存储顶点，当我们深度搜索图时，每搜索完毕一个顶点，把该顶点放入到reversePost中，这样就可以实现顶点排序。

代码：

public class DepthFirstOrder {
  //索引代表顶点，值表示当前顶点是否已经被搜索
  private boolean[] marked;
  //使用栈，存储顶点序列
  private Stack<Integer> reversePost;
  //创建一个检测环对象，检测图G中是否有环
  public DepthFirstOrder(Digraph G){
    //创建一个和图的顶点数一样大小的marked数组
    marked = new boolean[G.V()];
    reversePost = new Stack<Integer>();
    //遍历搜索图中的每一个顶点
    for (int v = 0; v <G.V(); v++) {
      //如果当前顶点没有搜索过，则搜索
      if (!marked[v]){
        dfs(G,v);
      }
    }
  }
  //基于深度优先搜索，检测图G中是否有环
  private void dfs(Digraph G, int v){
    //把当前顶点标记为已搜索
    marked[v]=true;
    //遍历v顶点的邻接表，得到每一个顶点w
    for (Integer w : G.adj(v)){
      //如果当前顶点w没有被搜索过，则递归搜索与w顶点相通的其他顶点
      if (!marked[w]){
        dfs(G,w);
      }
    }
    //当前顶点已经搜索完毕，让当前顶点入栈
    reversePost.push(v);
  }
  //获取顶点线性序列
  public Stack<Integer> reversePost(){
    return reversePost;
  }
}

2.3 拓扑排序实现

前面已经实现了环的检测以及顶点排序，那么拓扑排序就很简单了，基于一幅图，先检测有没有环，如果没有环，则调用顶点排序即可。

API设计：

代码：

public class TopoLogical {
  //顶点的拓扑排序
  private Stack<Integer> order;
  //构造拓扑排序对象
  public TopoLogical(Digraph G) {
    //创建检测环对象，检测图G中是否有环
    DirectedCycle dCycle = new DirectedCycle(G);
    if (!dCycle.hasCycle()){
      //如果没有环，创建顶点排序对象，进行顶点排序
      DepthFirstOrder depthFirstOrder = new DepthFirstOrder(G);
      order = depthFirstOrder.reversePost();
    }
  }
  //判断图G是否有环
  private boolean isCycle(){
    return order==null;
  }
  //获取拓扑排序的所有顶点
  public Stack<Integer> order(){
    return order;
  }
}
//测试代码
public class TopoLogicalTest {
  public static void main(String[] args) throws Exception {
    //创建输入流
    BufferedReader reader = new BufferedReader(new
    InputStreamReader(TopoLogicalTest.class.getClassLoader().getResourceAsStream("topological_test.txt")));
    //读取顶点个数，初始化Graph图
    int number = Integer.parseInt(reader.readLine());
    Digraph G = new Digraph(number);
    //读取边的个数
    int roadNumber = Integer.parseInt(reader.readLine());
    //读取边，并调用addEdge方法
    for (int i = 0; i < roadNumber; i++) {
      String line = reader.readLine();
      int p = Integer.parseInt(line.split(" ")[0]);
      int q = Integer.parseInt(line.split(" ")[1]);
      G.addEdge(p, q);
    }
    //创建拓扑排序对象对象
    TopoLogical topo = new TopoLogical(G);
    Stack<Integer> order = topo.order();
    //遍历打印
    StringBuilder sb = new StringBuilder();
    for (Integer v : order) {
      sb.append(v+"->");
    }
    sb.deleteCharAt(sb.length()-1);
    sb.deleteCharAt(sb.length()-1);
    System.out.println(sb);
  }
}

数据结构与算法之图的进阶（一）