一、题目
1、算法题目
“给定一个网格，找出一条从左上角到右下角的数字总和最大的路径。”
题目链接：
来源：力扣（LeetCode）
链接：64. 最小路径和 - 力扣（LeetCode） (leetcode-cn.com)
2、题目描述
给定一个包含非负整数的 m x n 网格 grid ，请找出一条从左上角到右下角的路径，使得路径上的数字总和为最小。
说明： 每次只能向下或者向右移动一步。
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示例 1： 输入： grid = [[1,3,1],[1,5,1],[4,2,1]] 输出： 7 解释： 因为路径 1→3→1→1→1 的总和最小。 复制代码
示例 2： 输入： grid = [[1,2,3],[4,5,6]] 输出： 12 复制代码
二、解题
1、思路分析
这道题没跑了，还是用动态规划，但是由于本题是要找一条最大数字和的路径，因此路径是唯一的。
对于不在第一行第一列的元素，可以从上一个元素移动一步到达，元素对应的最小路径等于上一个元素对应的最小路径和中的最小值加上当前元素的值。
2、代码实现
代码参考：
public class Solution { public int MinPathSum(int[][] grid) { int m = grid.Length; int n = grid[0].Length; int[,] dp = new int[m + 1, n + 1]; for (int i = 2; i <= m; i++) dp[i, 0] = int.MaxValue; for (int j = 2; j <= n; j++) dp[0, j] = int.MaxValue; for (int i = 1; i <= m; i++) { for (int j = 1; j <= n; j++) { dp[i, j] = Math.Min(dp[i - 1, j], dp[i, j - 1]) + grid[i - 1][j - 1]; } } return dp[m, n]; } } 复制代码
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3、时间复杂度
时间复杂度 ： O(mn)
其中m是网格的长，n是网格的宽，只需要遍历一遍网格即可求得答案。
空间复杂度： O(mn)
其中m是网格的长，n是网格的宽。
三、总结
空间复杂度可以优化到原地工作，也就是O1，但是会破坏原矩阵的数据。
通过分析可以发现，数据在扫描矩阵的时候，原数据信息只在扫描的时候用到一次，后续便不会再使用。
所以扫描写dp的时候，可以直接进行覆盖，而不会影响最终的结局。
也就是利用了系统为grid分配的内存进行记录动态规划的dp。
