文章目录
一、复杂度理论
二、时间复杂度
1、P 与 NP 问题
2、O 表示的复杂度情况
3、时间复杂度取值规则
4、时间复杂度对比
一、复杂度理论
时间复杂度 : 描述一个算法执行的大概效率 ; 面试重点考察 ; 面试时对时间复杂度都有指定的要求 , 蛮力算法一般都会挂掉 ;
空间复杂度 : 程序执行过程中 , 所耗费的额外空间 ; 面试考察较少 , 程序中使用的空间 , 看变量的定义就可以知道大概数量 ;
编程复杂度 : 代码可读性是否高 , 是否容易看懂 ; 写代码时的难度不高 , 别人读代码时的难度也不高 ; 如果写的时候经过长时间斟酌 , 那么可读性估计会很差 ;
如 : 字符串查找 ,
使用 蛮力算法 , 编程复杂度很低 , 很容易看懂 , 但是其时间复杂度是 O ( m × n ) O(m \times n)O(m×n) ;
如果使用 Rabin-Karp 算法 , 时间复杂度是 O ( m + n ) O(m + n)O(m+n) , 但是编程复杂度很高 , 实现了哈希算法 , 很难看懂 ;
思维复杂度 : 是否容易想得出 ; 算法的原理是否容易理解 ;
算法是否容易理解 ;
字符串查找 KMP 的算法就很难理解 , 即使把代码展示出来 , 将原理说明 , 也是很难理解的 ;
一般 蛮力算法 时间复杂度 很高 , 但是 编程复杂度 和 思维复杂度 很低 , 代码容易理解 ;
如果对 时间复杂度 要求很高 , 如必须达到 O ( n ) O(n)O(n) 或 O ( n 2 ) O(n^2)O(n
2
) 要求 , 则必须使用复杂的算法 , 双指针 , 动态规划 , KMP 等 , 代码会写几百行 , 很难理解 ;
二者之间需要综合考虑 , 相互作出一些妥协 ;
二、时间复杂度
1、P 与 NP 问题
P 问题 ( Polynomial ) , 是有效算法的集合 , 都可以在多项式时间内完成计算 , 其 时间复杂度都是多项式 ,
时间复杂度都是 O ( n ) O(n)O(n) , O ( n 2 ) O(n^2)O(n
2
) , O ( n 3 ) O(n^3)O(n
3
) , O ( m + n ) O(m + n)O(m+n) , O ( 1 ) O(1)O(1) , O ( n ) O(\sqrt{n})O(
n
) , O ( log n ) O(\log n)O(logn) , O ( n log n ) O(n \log n)O(nlogn) 等多项式 ;
n nn 一般都在底数的位置 , 不在幂次方的位置 ;
NP 问题 ( Nondeterministic Polynomial ) , 是没有找到一个算法可以在多项式时间内解决该问题 , 目前只找到了非多项式时间的解法 , 不确定该问题是否有多项式时间解法 ;
时间复杂度一般是 O ( 2 n ) O(2^n)O(2
n
) , O ( n n ) O(n^n)O(n
n
) , O ( n ! ) O(n!)O(n!) 等 ;
2、O 表示的复杂度情况
O OO 表示算法在 最坏的情况下的时间复杂度 ;
一般情况下 , 算法的时间复杂度都以最坏情况的时间复杂度为准 ;
但是也有特例 , 快速排序的最坏情况下 , 时间复杂度是 O ( n 2 ) O(n^2)O(n
2
) , 这个时间复杂度几乎不会遇到 , 一般情况下描述快速排序的时间复杂度时 , 使用 平均时间复杂度 O ( n log n ) O(n \log n)O(nlogn) ;
3、时间复杂度取值规则
只考虑最高次项 : 时间复杂度描述中 , 一般 只考虑最高次项 ;
如 : O ( n 2 + n ) = O ( n 2 ) O(n^2 + n) = O(n^2)O(n
2
+n)=O(n
2
) , O ( 2 n + n 2 ) = O ( 2 n ) O(2^n + n^2) = O(2^n)O(2
n
+n
2
)=O(2
n
)
不考虑常数项 : 时间复杂度描述中 , 不考虑常数项 ;
如 : O ( n 2 + 2000 ) = O ( n 2 ) O(n^2 + 2000) = O(n^2)O(n
2
+2000)=O(n
2
)
不考虑系数项 : 时间复杂度描述中 , 不考虑系数项 ;
如 : O ( 2 n 2 ) = O ( n 2 ) O(2n^2) = O(n^2)O(2n
2
)=O(n
2
) ,
O ( log n ) = O ( log ( n 2 ) ) = O ( log 4 ( n ) ) O(\log n) = O(\log(n^2)) = O (\log _4 (n) )O(logn)=O(log(n
2
))=O(log
4
(n)) , O ( log ( n 2 ) ) O(\log(n^2))O(log(n
2
)) 其中的 2 22 可以提取到前面 变为 O ( 2 log ( n ) ) O(2\log(n))O(2log(n)) , O ( log 4 ( n ) ) O (\log _4 (n) )O(log
4
(n)) 中的底数 4 44 提取出来变为 O ( 1 2 log ( n ) ) O (\cfrac{1}{2}\log (n) )O(
2
1
log(n)) , 系数项不考虑 , 不管底数是多少 , 内部 n nn 是多少次幂 , 都可以提取成系数 , 系数项不考虑 ;
因此 , 对数的复杂度只有 O ( log n ) O(\log n)O(logn) , 没有其它的底数或 n nn 次幂的情况 , 这些都可以提取成系数 ;
但是系数为 n nn 除外 ;
4、时间复杂度对比
O ( m + n ) O(m + n)O(m+n) 与 O ( m a x ( m , n ) ) O(max(m, n))O(max(m,n)) 哪个复杂度更高 ;
n + m > m a x ( m , n ) > m + n 2 n + m > max (m, n) > \cfrac{m + n}{2}n+m>max(m,n)>
2
m+n
m a x ( m , n ) max (m, n)max(m,n) 是介于两个值之间的数值 ;
O ( n + m ) = O ( m + n 2 ) O(n + m) = O(\cfrac{m + n}{2})O(n+m)=O(
2
m+n
) , 因此 O ( n + m ) = O ( m + n 2 ) = O ( m a x ( m , n ) ) O(n + m) = O(\cfrac{m + n}{2}) = O(max (m, n))O(n+m)=O(
2
m+n
)=O(max(m,n))
