在之前的一篇文章：划重点！通俗解释协方差与相关系数，红色石头为大家通俗化地讲解了协方差是如何定义的，以及如何直观理解协方差，并且比较了协方差与相关系数的关系。
本文红色石头将继续使用白话语言，介绍机器学习中应用十分广泛的矩阵分解方法：奇异值分解（SVD）。本文不注重详细的数学推导，只注重感性的理解以及如何在实际应用中使用它们。
1 普通方阵的矩阵分解（EVD）
我们知道如果一个矩阵 A 是方阵，即行列维度相同（mxm），一般来说可以对 A 进行特征分解：
其中，U 的列向量是 A 的特征向量，Λ 是对角矩阵，Λ 对角元素是对应特征向量的特征值。
举个简单的例子，例如方阵 A 为：
那么对其进行特征分解，相应的 Python 代码为：
import numpy as np A = np.array([[2,2],[1,2]]) lamda,U=np.linalg.eig(A) print('方阵 A: ',A) print('特征值 lamda: ',lamda) print('特征向量 U: ',U)
运行输出：
方阵 A: [[2 2]
[1 2]]
特征值 lamda: [ 3.41421356 0.58578644]
特征向量 U: [[ 0.81649658 -0.81649658]
[ 0.57735027 0.57735027]]
特征分解就是把 A 拆分，如下所示：
其中，特征值 λ1=3.41421356，对应的特征向量 u1=[0.81649658 0.57735027]；特征值 λ2=0.58578644，对应的特征向量 u2=[-0.81649658 0.57735027]，特征向量均为列向量。
值得注意的是，特征向量都是单位矩阵，相互之间是线性无关的，但是并不正交。得出的结论是对于任意方阵，不同特征值对应的特征向量必然线性无关，但是不一定正交。
02 对称矩阵的矩阵分解（EVD）
那么对其进行特征分解，相应的 Python 代码为：
A = np.array([[2,1],[1,1]]) lamda,U=np.linalg.eig(A) print('方阵 A: ',A) print('特征值 lamda: ',lamda) print('特征向量 U: ',U)
运行输出：
方阵 A: [[2 1]
[1 1]]
特征值 lamda: [ 2.61803399 0.38196601]
特征向量 U: [[ 0.85065081 -0.52573111]
[ 0.52573111 0.85065081]]
特征分解就是把 A 拆分，如下所示：
其中，特征值 λ1=2.61803399，对应的特征向量 u1=[0.85065081 0.52573111]；特征值 λ2=0.38196601，对应的特征向量 u2=[-0.52573111 0.85065081]，特征向量均为列向量。
注意，我们发现对阵矩阵的分解和非对称矩阵的分解除了公式不同之外，特征向量也有不同的特性。对称矩阵的不同特征值对应的特征向量不仅线性无关，而且是相互正交的。什么是正交呢？就是特征向量内积为零。验证如下：
0.85065081 * -0.52573111 + 0.52573111 * 0.85065081 = 0\
3 奇异值分解（SVD）
我们发现，在矩阵分解里的 A 是方阵或者是对称矩阵，行列维度都是相同的。但是实际应用中，很多矩阵都是非方阵、非对称的。那么如何对这类矩阵进行分解呢？因此，我们就引入了针对维度为 mxn 矩阵的分解方法，称之为奇异值分解（Singular Value Decomposition）。
假设矩阵 A 的维度为 mxn，虽然 A 不是方阵，但是下面的矩阵却是方阵，且维度分别为 mxm、nxn。
因此，我们就可以分别对上面的方阵进行分解：
其中，Λ1 和 Λ2 是对焦矩阵，且对角线上非零元素均相同，即两个方阵具有相同的非零特征值，特征值令为 σ1, σ2, ... , σk。值得注意的是，k<=m 且 k<=n。
根据 σ1, σ2, ... , σk 就可以得到矩阵 A 的特征值为：
其中，P 称为左奇异矩阵，维度是 mxm，Q 称为右奇异矩阵，维度是 nxn。Λ 并不是方阵，其维度为 mxn，Λ 对角线上的非零元素就是 A 的特征值 λ1, λ2, ... , λk。图形化表示奇异值分解如下图所示：
4 如何形象化理解 SVD
奇异值分解到底有什么用呢？如何形象化地理解奇异值？我们一起来看下面的例子。
首先放上男神的照片：
可见，取前 50 个最大奇异值来重构图像时，已经非常清晰了。我们得到和原图差别不大的图像。也就是说，随着选择的奇异值的增加，重构的图像越来越接近原图像。
基于这个原理，奇异值分解可以用来进行图片压缩。例如在本例中，原始图片的维度是 870x870，总共需要保存的像素值是：870x870=756900。若使用 SVD，取前 50 个最大的奇异值即可，则总共需要存储的元素个数为：
(870+1+870)x50=87050
显然，所需存储量大大减小了。在需要存储许多高清图片，而存储空间有限的情况下，就可以利用 SVD，保留奇异值最大的若干项，舍去奇异值较小的项即可。
值得一提的是，奇异值从大到小衰减得特别快，在很多情况下，前 10% 甚至 1% 的奇异值的和就占了全部的奇异值之和的 99% 以上了。这对于数据压缩来说是个好事。
SVD 数据压缩的算法图示如下：
SVD 数据压缩的示例代码为：
from skimage import io import matplotlib.pyplot as plt from PIL import Image img=io.imread('./ng.jpg') m,n = img.shape io.imshow(img) plt.show() P, L, Q = np.linalg.svd(img) tmp = np.diag(L) if m < n: d = np.hstack((tmp,np.zeros((m,n-m)))) else: d = np.vstack((tmp,np.zeros((m-n,n)))) # k = 50 img2 = P[:,:50].dot(d[:50,:50]).dot(Q[:50,:]) io.imshow(np.uint8(img2)) plt.show() tmp = np.uint8(img2) im = Image.fromarray(tmp) im.save("out.jpg")
现在，你已经完全了解了奇异值分解了吧。是不是挺简单也挺有意思呢？
