一：线性方程组

1.线性方程：

2.解的情况：

3.系数矩阵、增广矩阵：

系数矩阵：方程组对应的系数组成的矩阵。

增广矩阵：方程组对应的系数以及最后的常数组成的矩阵。

4.求解线性方程组：

基本思想：

初等行变换：

注：可以对比一下基本思想和初等行变换，其实本质是一样的，因为求结过程是一样的，所以对于等价的矩阵来说，其具有相同的解集。其实很重要的一点，就是行变换是可逆的：

5.结论：求解线性方程组的花间过程利用就是初等行变换。

二：行化简与阶梯形矩阵

1.阶梯型以及行简化阶梯型

任何非0矩阵都可以行化简为阶梯形矩阵、但用不同的方法可以化为不同的阶梯形矩阵；然而每个矩阵只能化为唯一的行简化阶梯型矩阵。

2.行化简算法

五步法：

其中前4步是用来产生阶梯型矩阵，第5步是产生行简化，详情见下面的例子。

3.线性方程组的解

求解线性方程组的步骤：

前两步判断是否有解（其中无解形式类似于0=b（b不等于0））、然后根据是否有自由变量分为唯一解和无穷多解。

通解的例子：

三：向量方程

1.向量空间

性质：即满足对可加性、数乘都是封闭的。

2.线性组合

其中平行四边形法则以及三角形法则不多说，想了解的自行百度查看。

3.向量方程和增广矩阵的关系

注：可以得出其实求解向量方程就是针对其增广矩阵（线性方程组）求解。

四：矩阵方程

1.本质：

其实矩阵方程Ax=b的由来就是向量方程/向量的线性组合。------线代的另一种表示形式而已。

注：前面已经得出向量方程组和线性方程组的等价关系，如今向量方程组和矩阵方程也是相同的关系，从而得出如下结论：

2.解的存在性：

其理解可以看前面的矩阵方程和向量方程/向量的线性组合关系，其实是一样的，而b其实是属于A的列向量的向量空间的，主要见第四章------这个有点遥远。

五：线性方程组的解集

其实前面已经说过线性方程组的解的过程，这里主要从矩阵方程Ax = b出发。

1.齐次线性方程组

2.非齐次线性方程组

这里只考虑非齐次线性方程组有多个解。

1）先考虑Ax=0，当然这是齐次的。

2）考虑Ax=b

3）通解：一个向量+满足对应的齐次方程组通解。

4）几何理解：其实就是在原来过原点的直线基础上进行了平移，所以同样有多个解。

3.相容方程组下的解集过程

注：相容方程组表示至少有一个解。

六：阶段总结

其实对于线性方程组、矩阵方程、向量方程/向量的线性组合来说其解都对应了无解、唯一解、无穷多解，现在主要对矩阵方程总结一下。

无解： Ax=b，阶梯型矩阵下出现了0=b（b不等于0）的情况；另外还有矩阵的秩判别情况，这个后面补充。

有解： Ax=0肯定有解。对于Ax=0的无穷解以及唯一解主要看行简化阶梯有无自由变量，没有自由变量就是0解，有自由变量就是过原点的直线/平面；Ax=b有解的时候分为唯一解和无穷解，这个同样是看行简化阶梯有无自由变量，没有自由变量就是唯一解，有的话则无穷解是在Ax=0的无穷解的基础上进行平移，所以一般是不过原点的直线/平面。

七：线性无关

八：线性变换

概念： 定义域、值域/余定义域/像的集合等—看看就好

本质： 向量在矩阵的作用下变成另一个向量。

线性变换的性质：

九：平移+旋转+缩放（补充）