监督学习案例

规范

• 假设函数: 使用h(hypothesis, 假设)表示
• 输入(input value)
  • 向量或者实数: 使用小写字母x等
  • 矩阵: 使用大写字母X等
• 输出(output value)
  • 向量或者实数: 使用小写字母y等
  • 矩阵: 使用大写字母Y等
• 参数(Parameters): \(\theta\)
• 样本的数量(列数): m
• 样本中特征(feature)的个数: n
• \(x_0^{(1)}\): 0表示第0个特征(为我们给出的样本中的特征是从1开始的，这里的0是我们自己添加上去的，所有的\(x_0^{(m)}\)都为1，其中1表示第几行数据, 它的一般式就是\(x_j^{(i)}\), 以后j表示第几个特征，i表示第几个样本

房价的Size和Price的预测

• X 为 房子的 Size
• 建立一个线性模型: \(h_\theta(x) = \theta_0 + \theta_1x\)
• 要让我们fit的model与y差异最小, 称之为最小化(minimize)
  • 在这个案例中使用\[J(\theta_0, \theta_1) = {1\over2m}\sum_{i = 0}^m(h\theta(x^{(i)}) - y^{(i)})^2\]
  • 上面的就是我们的代价函数(cost function), 因为我们有让得到的和除以了2m, 所以我们的到函数也称之为平均误差函数(squared error function), 注意: cost function的自变量时theta_0和theta_1, 不在是我们熟悉的x了
  • \[{minimize_{\theta_0\theta_1}} J(\theta_0, \theta_1)\]表示求出一个\(\theta_0\)和\(\theta_1\)使得\(J(\theta_0, \theta_1)\)的值最小, 我们称之为最小化的过程, 上面的这个表达式就是我们的优化目标(optimization objective), 也就是我们的目标函数
• 对于线性回归模型来说, 它的\(J(\theta_0, \theta_1)\)目标函数是一个凸函数(没有局部最优点, 只有一个全局的最优点), 在二维上是抛物线, 在三维上是一个碗状, 对于三维的(J有两个theta参数), 一般使用等高线图来替代三维凸函数
• 使用gradient regression梯度降维求出最优解, 梯度降维的公式为\(\theta_0 := \theta_0 - \alpha \times {\partial\over\partial\theta_0}J(\theta_0, \theta_1)\), 对于另一个\(\theta_1\)也是一样的, \(\theta_1 := \theta_1 - \alpha \times {\partial\over\partial\theta_1}J(\theta_0, \theta_1)\), 上面的是公式, 在实际更新我们的参数\(\theta_0, \theta_1\)的时候, 应该保证\(\theta_0, \theta_1\)同步更新, 所以应该这样子\[tmp0 := \theta_0 - \alpha \times {\partial\over\partial\theta_0}J(\theta_0, \theta_1)\] \[tmp1 := \theta_1 - \alpha \times {\partial\over\partial\theta_1}J(\theta_0, \theta_1)\] \[\theta_0 := tmp0\] \[\theta_1 := tmp1\], 在最后同步更新\(\theta_0\)和\(\theta_1\)的值
• 关于梯度下降公式的细节
  • 公式中, \(\alpha\)表示学习率, \({\partial\over\partial\theta_0}J(\theta_0, \theta_1)\)表示梯度下降的方向, 所以\(\alpha \times {\partial\over\partial\theta_0}J(\theta_0, \theta_1)\)表示\(\theta_0\)要更新多少的值, 形象一点就是说, 一个人在一个山顶上, 他步子的大小为\(\alpha\), 他希望尽快下山的方向为\({\partial\over\partial\theta_0}J(\theta_0, \theta_1)\), 这样我们就可以更新\(\theta_0\)的值了
  • 虽然我们在公式中规定了\(\alpha\)学习率, 但是并不代表我们走的每一步就是不变的, 因为导数是在变化的, 为最低点的时候为0, 在其他地方有时别的值
  • 要应用梯度下降法, 我们需要为\(\theta_0\)和\(\theta_1\)进行初始化, 一般来说都初始化为0, 但是也要视情况而定
  • 什么时候停止梯度下降?
    • 我们可以规定一个阈值, 当我们的\(\alpha \times {\partial\over\partial\theta_0}J(\theta_0, \theta_1)\)小于这个阈值的时候停止, 这个是通过计算机自动停止迭代的, 但是不推荐使用
    • 另外一种方式就是通过画出\(minimize_{\theta_0\theta_1}J(\theta_0, \theta_1)\)与迭代次数的图像来判断应该迭代多少次, 如果画出来的是一个抛物线则表示我们设置的\(\alpha\)学习率太大了, 应该减小\(\alpha\)的值
• 其他
  • 对于这个房价的模型, 我们除了使用梯度下降的方法求出我们的目标函数之外还可以使用matrix的方法来求, 这个更加的简单
  • 我们每求一次\(J(\theta_0, \theta_1)\)的值就要遍历一遍所有的数据, 因为the definition of the \(J(\theta_0, \theta_1)\) is \[\sum_{i=1}^{m}{1\over2m}{(h(x^{(i)}) - y^{(i)})^2})\], 这种方式我们称之为Batch梯度下降

房价的Size和Price的预测-其他解决方案

• 在上一节中我们已经得到了一个线性模型\(h_\theta(x) = \theta_0 + \theta_1x\)，根据这个假设函数我们定义出了一个目标函数(也称之为损失函数)\[J(\theta_0, \theta_1) = {1 \over 2m}\sum_{i = 0}^{m}(h(x^{(i)}) - y^{(i)})^2\]接着通过梯度下降的方法计算出\(minimize_{\theta_0\theta_1}J(\theta_0, \theta_1)\), 我们知道这种方法需要对进行迭代，比较麻烦，那有没有更加简单的方法呢？能不能一次迭代就可以求出我们的\(\theta_0\)和\(\theta_1\)呢？答案就是正规方程

• 正规方程: \(\theta = (A^{T}A)^{-1}A^{T}y\)
  • 其中\(\theta\)为一个列向量, 表示我们所有的参数
    \[ \begin{bmatrix} \theta_0 \\ \theta_1 \end{bmatrix} \]

  • A 表示输入的 x 组成的矩阵, 这里就是
    \[ \begin{bmatrix} 1 & x_1^{(1)} \\ 1 & x_1^{(2)} \\ \vdots & \vdots \\ 1 & x_1^{(m)} \end{bmatrix} \]
    上面的矩阵的原型就是
    \[ \begin{bmatrix} x_0^{(1)} & x_1^{(1)} \\ x_0^{(2)} & x_1^{(2)} \\ \vdots & \vdots \\ x_0^{(m)} & x_1^{(m)} \end{bmatrix} \]

    从上面我们可以知道\(x_0^{(n)}\)是值为1，这里的

    \[ \begin{bmatrix} x_0^{(1)} \\ x_0^{(2)} \\ x_0^{(3)} \\ \vdots \\ x_0^{(m)} \end{bmatrix} \]
    • 就是我们自己添加上去的新的特征值，这个特征比较特殊，因为它所有的值都为0，为什么要这样做？通过观察假设函数\(h(x^{(i)}) = \theta_0 \times 1 + \theta_1x^{(i)}\)我们发现，之后\(\theta_0\)没有自变量，为了数学上的统一，于是我们对其进行修改\(h(x^{(i)}) = \theta_0x_0^{(i)} + \theta_1x_1^{(i)}\)，其中\(x_0^{(i)}\)为1。

  • 其中y为一个列向量，它的值为
    \[ \begin{bmatrix} y^{(1)} \\ y^{(2)} \\ y^{(3)} \\ \vdots \\ y^{(m)} \end{bmatrix} \]
    是\(x_j^{(i)}\)对象的标签值

• 如果构建 A ?

  • 首先，在书写假设函数的时候应该安装阶数的升序书序，如\(h(x^{(i)}) = \theta_0 + \theta_1x_1^{(i)} + \theta_2{(x_1^{(i)})}^2\)或者\(h(x^{(i)}) = \theta_0 + \theta_1x_1^{(i)} + \theta_2x_2^{(i)}\)分别从方便的式子中构建 A

    第一个是
    \[ \begin{bmatrix} 1 & x_1^{(1)} & {(x_1^{(1)})}^2 \\ 1 & x_1^{(2)} & {(x_1^{(2)})}^2 \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ 1 & x_1^{(m)} & {(x_1^{(m)})}^2 \\ \end{bmatrix} \]

    第二个是
    \[ \begin{bmatrix} 1 & x_1^{(1)} & x_2^{(1)} \\ 1 & x_1^{(2)} & x_2^{(2)} \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ 1 & x_1^{(m)} & x_2^{(m)} \\ \end{bmatrix} \]

• 如果已经构建出了矩阵 A，接下来的y的构建是非常简单的，就是安装y给出的顺序构建一个列向量即可

• 带入公式就可以直接求出 \(\theta\)

• 正规方程的优点
  • 不需要像梯度下降法一样麻烦，需要换出\(minimize_{\theta_0\theta_1}J(\theta_0, \theta_1)\)和迭代次数的图像来确定迭代的次数，除此之外还要确定出\(\alpha\)学习率的大小
• 正规方程的缺点
  • 在公式中发现这个A矩阵包含了所有的输入，如果输入量非常的大，则A矩阵就会非常大，在计算\({(A^{T}A)}^{-1}\)矩阵的维度就会增大，并且求矩阵的逆在大数据的情况下是非常消耗计算机的性能的
  • 使用的范围小，只适用于线性回归，而梯度下降使用的范围要广很多

房价的Size和Price的预测-多变量

• 在上两节中我们只考虑到了房子的大小和房子的关系，当然这个是不包括我们计自己添加上去的第0个特征，它们的值都为1。下面我们再添加一些特征，下面就添加 Age。

• 此时我们的假设函数为\(h(x^{(i)}) = \theta_0 + \theta_1x_1^{(i)} + \theta_2x_2^{(i)}\)，其中\(x_1^{(i)}\)为size输入，\(x_2^{(i)}\)为age的输入，构建目标函数(cost function)\[J(\theta_0, \theta_1, \theta_2) = {1 \over 2m}\sum_{i = 0}^{m}(h(x^{(i)}) - y^{(i)})\]，为了方便起见，通常我们会将向量输入到函数中而不是一个实数，因为在编程中我们就是输入向量或者矩阵的\[J(\theta) = {1 \over 2m}\sum_{i = 0}^{m}(h(x^{(i)}) - y^{(i)})\]其中，\(\theta\)是一个向量，它的值为\[ \begin{bmatrix} \theta_0 \\ \theta_1 \\ \theta_2 \end{bmatrix} \]

• 接下来就是我们熟悉的步骤了通过画出\(minimize_{\theta_0, \theta_1, \theta_2}J(\theta_0, \theta_1, \theta_2)\)和迭代次数的图求出应该迭代几次，关于\(minimize_{\theta_0, \theta_1, \theta_2}J(\theta_0, \theta_1, \theta_2)\)$的值已经在前几节讲过了，使用梯度下降的方法

\[ tmp0 := \theta_0 - \alpha \times {\partial\over\partial\theta_0}J(\theta) \]
\[ tmp1 := \theta_1 - \alpha \times{\partial\over\partial\theta_1}J(\theta) \]
\[ tmp2 := \theta_2 - \alpha \times{\partial\over\partial\theta_2}J(\theta) \]
\[ \theta_0 := tmp0 \theta_1 := tmp1 \theta_2 := tmp2 \]
在最后同步更新\(\theta_0\), \(\theta_1\)和\(\theta_2\)的值，道理都是一样的

另外的思考-房子的宽(width)和长(length)对房价进行预测

• 根据标题知道，题目给出了两个特征width和length，我们当然可以和上一节那样构建假设函数，上一节的假设函数绝对是首选，但是如果拟合的不好呢？这就意味着我们需要重新构建假设函数，现在我们构建一个新的假设函数\(h(x^{(i)}) = \theta_0 + \theta_1{x_1^{(i)}} + \theta_2{(x^{(i)})}^{2}\)，我们发现这与我们之前的假设函数不一样的地方在于有2阶，这个地方就有技巧了，将\({x_1^{(i)}}\)看成一个新的特征\(xnew_1^{(i)}\) 和 \({(x_2^{(i)})}^{2}\)看成另外一个新的特征\(xnew_2^{(i)}\)，这样子我们的假设函数就又成为了一阶了的，操作步骤就和之前的一样了

对数据的处理

在获取到需要训练的数据的时候，我们需要对数据进行去均值化

• 什么是去均值化
  • 去均值化就是将我们的一列数据的范围固定到\(-1 \to 1\)$这个范围之间，但是这个范围不是硬性要求，可以在这个区间内波动

  • 公式:
    \[ v = {{x - avg} \over {max - min}} \]

    • v 为去均值之后的数据样本列向量
    • x 为待去均值的数据样本列向量
    • avg 为 x 的均值
    • max 为 x 的最大值
    • min 为 x 的最小值
    • 还是要提的是x是一个列向量，就是我们数据表中的一列，就是\(x_j^{(i)}\)中的第j个特征的所有的值
  • 举例:

    • 假设我们的房价中size的范围是在(0, 3000)区间内，可想而知有10，有200， 有3000，这样数据之间的差异太大了，对我们的拟合时候影响的，如果我们使用梯度下降发进行最小化，因为数据差异大，会导致最小化的速度变慢

    • 使用公式
      \[ v = {{x - avg} \over {max - min}} \]
      得到的v，它所有元素的大小都在\(-1 \to 1\)区间内

• 为什么要去均值

  • 很简单，为了在使用梯度下降的方法进行最小化的时候加快速度

• 执行去均值之后，我们应该保存mean和std，因为我们使用的是去均值之后的数据拟合的模型，在使用这个模型的时候，我们也要对输入进行去均值，这样拟合出来的数据才是我们需要的。

所有在之前的案例中，我们应该加上去均值这一步