本周内容较多，故分为上下两篇文章。
本文为下篇。

一、内容概要

1. Anomaly Detection

• Density Estimation
  • Problem Motivation
  • Gaussian Distribution
  • Algorithm
• Building an Anomaly Detection System（创建异常检测系统）
  • Developing and Evaluating an Anomaly Detection System
  • Anomaly Detection vs. Supervised Learning
  • Choosing What Features to Use
• Multivariate Gaussion Distribution（多元高斯分布）
  • Multivariate Gaussion Distribution

  • Anomaly Detection using the Multivariate Gaussion Distribution

    2. Recommender System

• Predicting Movie
  • Problem Formulation
  • Content Based Recommendations
• Collaborative Filtering(协同过滤)
  • Collaborative Filtering
  • Collaborative Filtering Algorithm
• Low Rank Matrix Factorization（低秩矩阵分解）
  • Vectorization（向量化）： Low Rank Matrix Factorization
  • Implementational Detail：Mean Normalization

  • 二、重点&难点

Recommender System(推荐系统)

1.Predicting Movie

1）Problem Formulation

下面将以推荐电影为例来介绍推荐系统的实现。

movie	Alice	Bob	Carol	Dave
Love at last	5	5	0	0
Romance forever	5	?	?	0
Cute Puppies of love	?	4	0	?
nonstop car chases	0	0	5	4
swords & karate	0	0	5	?

上面的分数表示用户对该电影的评分（0~5分，？表示未获得评分数据）
为方便下面叙述，对如下符号进行说明：

• $n_u$：表示用户数量
• $n_m$：表示电影数量
• r(i,j)：如果等于1则表示用户j对电影i进行了评分
• $y^{(i,j)}$：表示用户j对电影i的评分

上面例子中可以知道 $n_u=4 \quad n_m=5 \quad y^{(1,1)}=5$

2）Content Based Recommendations(基于内容的推荐)

• 1.获取特征向量
  为了实现推荐，我们为每部电影提取出了两个特征值，即x1（浪漫指数）和x2（动作指数）

movie	Alice	Bob	Carol	Dave	x1	x2
Love at last	5	5	0	0	0.9	0.1
Romance forever	5	?	?	0	1.0	0
Cute Puppies of love	?	4	0	?	0.99	0.01
nonstop car chases	0	0	5	4	0.1	0.9
swords & karate	0	0	5	?	0	1.0

由上表可知每部电影都可以用一组特征向量表示：

• 每一步电影都加上一个额外的特征，即 $x_0=1$
• 每部电影都有一个(3,1)的特征向量，例如第一部电影（Love at last）：$x^{(1)}=[1,0.9,0.1]^T$

• 对于所有数据我们有数据特征向量组为$\{x^{(1)},x^{(2)},x^{(3)},x^{(4)},x^{(5)}\}$

• 2.特征权重θ
  用户j对电影i的评分预测可以表示为$(θ^j)^Tx^i=stars$

• 3. 线性回归预测

和线性回归一样，可以得到如下优化目标函数:

• 对单个用户而言

$$\min_{θ^{(j)}}\frac{1}{2}\sum_{i;r(i,j)=1}((θ^{(j)})^Tx^{(i)}-y^{(i,j)})^2 + \frac{λ}{2}\sum_{k=1}^n (θ_k^{(j)})^2$$

• 对所有用户而言

$$\min_{θ^{(1)},...,θ^{(n_u)}}\frac{1}{2}\sum_{j=1}^{n_u}\sum_{i:r(i,j)=1}((θ^{(j)})^Tx^{(i)}-y^{(i,j)})^2 + \frac{λ}{2}\sum_{j=1}^{n_u}\sum_{k=1}^n (θ_k^{(j)})^2$$

应用梯度下降：

$$当k=0，θ_k^{(j)}:=θ_k^{(j)}-α\sum_{i:r(i,j)=1}( (θ^{(j)})^Tx^{(i)}-y^{(i,j)} )x_k^{(i)}$$
$$当k≠0，θ_k^{(j)}:=θ_k^{(j)}-α\sum_{i:r(i,j)=1}( (θ^{(j)})^Tx^{(i)}-y^{(i,j)} )x_k^{(i)}+λθ_k^{(j)}$$

2.Collaborative Filtering(协同过滤)

1）Collaborative Filtering

在之前的基于内容的推荐系统中，对于每一部电影，我们都掌握了可用的特征，使用这些特征训练出了每一个用户的参数。相反地，如果我们拥有用户的参数，我们可以学习得出电影的特征。即由θ求出x。

$$\min_{θ^{(1)},...,θ^{(n_m)}}\frac{1}{2}\sum_{j=1}^{n_u}\sum_{i:r(i,j)=1}((θ^{(j)})^Tx^{(i)}-y^{(i,j)})^2 + \frac{λ}{2}\sum_{j=1}^{n_m}\sum_{k=1}^n (θ_k^{(j)})^2$$

注意累计符号的上限由$n_u$变成了$n_m$

但是如果我们既没有用户的参数也没有电影的特征该怎么办？这时协同过滤就可以起作用了，只需要对优化目标函数进行改进，如下：

$$J(x^{(1)},...,x^{(n_m)},θ^{(1)},...,θ^{(n_u)}) = \frac{1}{2}\sum_{(i,j):r(i,j)=1}((θ^{(j)})^Tx^{(i)}-y^{(i,j)})^2 \\ \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad +\frac{λ}{2}\sum_{j=1}^{n_u}\sum_{k=1}^n (θ_k^{(j)})^2 \\ \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad+ \frac{λ}{2}\sum_{i=1}^{n_m}\sum_{k=1}^n (x_k^{(i)})^2$$

对代价函数求偏导结果如下：

$$x_k^{(i)} := x_k^{(i)} - α(\sum_{j:r(i,j)=1}( (θ^{(j)})^Tx^{(i)}-y^{(i,j)} )θ_k^{(j)} +λx_k^{(i)} )$$
$$θ_k^{(j)} := θ_k^{(j)} - α(\sum_{i:r(i,j)=1}( (θ^{(j)})^Tx^{(i)}-y^{(i,j)} )x_k^{(i)} +λθ_k^{(j)} )$$

协同过滤算法使用步骤如下：

1. 初始 x (1) ,x (2) ,...,x ($n_m$) ，θ (1) ,θ (2) ,...,θ ($n_u$) 为一些随机小值
2. 使用梯度下降算法最小化代价函数
3. 在训练完算法后，我们预测$(θ ^{(j)} )^ T x^{ (i)}$ 为用户 j 给电影 i 的评分

3. Low Rank Matrix Factorization（低秩矩阵分解）

1）Vectorization（向量化）： Low Rank Matrix Factorizationv

movie	Alice	Bob	Carol	Dave
Love at last	5	5	0	0
Romance forever	5	?	?	0
Cute Puppies of love	?	4	0	?
nonstop car chases	0	0	5	4
swords & karate	0	0	5	?

（同样的例子）很显然我们可以得到评分矩阵Y

$$Y= \left[ \begin{array}{cccc} 5&5&0&0 \\ 5&?&?&0 \\ ?&4&0&? \\ 0&0&5&4 \\ 0&0&5&0 \\ \end{array} \right]$$

推出评分

$$\begin{pmatrix} (θ^{(1)})^T(x^{(1)}) &(θ^{(2)})^T(x^{(1)})& \cdots & (θ^{(n_u)})^T(x^{(1)}) \\ (θ^{(1)})^T(x^{(2)}) &(θ^{(2)})^T(x^{(2)})& \cdots & (θ^{(n_u)})^T(x^{(2)}) \\ \vdots & \vdots& \ddots & \vdots \\ (θ^{(1)})^T(x^{(n_m)}) &(θ^{(2)})^T(x^{(n_m)})& \cdots & (θ^{(n_u)})^T(x^{(n_m)}) \\ \end{pmatrix}$$

如何寻找与电影i相关的电影j呢？满足$||x^{(i)}-x^{(j)}||$较小的前几部影片即可。

2）Implementational Detail：Mean Normalization

假如增加了一个用户marsggbo，他很单纯，这5部电影都还没看过，所以没有评分数据，这是可以通过均值正则化来初始化数据，具体实现如下：

movie	Alice	Bob	Carol	Dave	Marsggbo
Love at last	5	5	0	0	？
Romance forever	5	?	?	0	？
Cute Puppies of love	?	4	0	?	？
nonstop car chases	0	0	5	4	？
swords & karate	0	0	5	?	？

此时的评分矩阵为

$$Y= \left[ \begin{array}{cccc} 5&5&0&0&? \\ 5&?&?&0&? \\ ?&4&0&?&? \\ 0&0&5&4&? \\ 0&0&5&0&? \\ \end{array} \right]$$

首先求出每行的均值（未评分不用计算）

$$μ=\left[ \begin{array} 2.5 \\ 2.5 \\ 2 \\ 2.25 \\ 1.25 \end{array} \right]→ Y= \left[ \begin{array}{cccc} 2.5&2.5&-2.5&-2.5&? \\ 2.5&?&?&-2.5&? \\ ?&2&-2&?&? \\ -2.25& -2.25&2.75&1.75&? \\ -1.25&-1.25&3.75&-1.25&? \\ \end{array} \right]$$

预测值为$(θ^{(j)})^T(x^{(i)})+μ_i$，因为优没有评分。所以化目的函数只需要$min\frac{λ}{2}\sum_{j=1}^{n_u}\sum_{k=1}^n (θ_k^{(j)})^2$,很显然$θ=\vec0$，所以新增用户评分数据可初始化为均值，即

$$Y= \left[ \begin{array}{cccc} 5&5&0&0&2.5 \\ 5&?&?&0&2.5 \\ ?&4&0&?&2 \\ 0&0&5&4&2.25 \\ 0&0&5&0&1.25 \\ \end{array} \right]$$

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MARSGGBO原创





2017-8-14