Andrew Ng 的机器学习课程是学习机器学习基础知识的经典资源之一。第十周的内容主要关注于如何优化梯度下降算法，使其更加高效地收敛。本周的学习重点在于理解不同类型的梯度下降算法及其应用场景，以及如何选择合适的参数来加速学习过程。
首先，回顾一下梯度下降的基本概念。梯度下降是一种迭代优化算法，用于最小化成本函数。在每一步迭代中，参数都会沿着负梯度的方向更新，直到达到局部最小值。梯度下降有三种主要类型：批量梯度下降、随机梯度下降和小批量梯度下降。每种类型都有其特点和适用场景。
批量梯度下降
批量梯度下降是最原始的形式，它使用整个训练集来计算梯度。这种方法的优点在于每次迭代都会朝着全局最小值方向移动，但是当数据集很大时，计算全部样本的梯度非常耗时。
随机梯度下降
随机梯度下降（SGD）在每次迭代时只使用一个训练样本来估计梯度。这种方法的主要优点是计算速度快，尤其当数据集非常大时。然而，由于每次迭代都只基于一个样本，梯度的估计往往不够准确，导致参数更新路径波动较大。
小批量梯度下降
小批量梯度下降（Mini-batch Gradient Descent）是介于批量梯度下降和随机梯度下降之间的一种折衷方案。它在每次迭代时使用一小批样本（例如 50 或 100 个样本）来计算梯度。这种方法兼顾了速度和稳定性，是实践中最常用的选择。
选择合适的批量大小
批量大小的选择对梯度下降算法的性能有很大影响。较小的批量大小可以加快学习过程，但也可能导致更多的迭代次数。较大的批量大小则可以减少迭代次数，但可能需要更多的时间来完成一次迭代。实践中，通常会选择介于 50 到 256 之间的批量大小。
学习率调整策略
学习率是梯度下降算法中一个重要的超参数。初始阶段，较高的学习率可以使算法更快地收敛；随着迭代次数增加，学习率应该逐渐减小，以便算法能够更精细地逼近最小值。常见的学习率调整策略包括固定衰减、指数衰减等。
动量法
动量法是一种改进梯度下降算法的方法，它通过引入一个动量项来加速收敛过程。动量项相当于梯度下降过程中的一种惯性，可以减少振荡，使算法更快地沿梯度方向移动。动量法的更新规则如下：
v = beta * v + alpha * gradient
theta = theta - v
其中，alpha 是学习率，beta 是动量系数（通常取值为 0.9），gradient 是梯度，v 是累积的梯度，theta 是待优化的参数。
RMSProp
RMSProp 是另一种优化算法，它可以自动调整每个参数的学习率，以解决学习率衰减的问题。RMSProp 的更新规则如下：
cache = gamma * cache + (1 - gamma) * gradient ** 2
theta = theta - (alpha / (np.sqrt(cache) + epsilon)) * gradient
其中，gamma 是衰减率（通常取值为 0.9），epsilon 是一个小常数（如 1e-8），用于防止除以零的情况。
Adam 优化器
Adam 优化器综合了动量法和 RMSProp 的优点，它同时考虑了梯度的一阶矩估计（动量）和二阶矩估计（RMSProp）。Adam 优化器在实践中表现出色，通常作为默认选择。
实践案例
下面是一个使用 Python 和 NumPy 实现的小批量梯度下降示例：
import numpy as np
def compute_cost(X, y, theta):
m = len(y)
predictions = X.dot(theta)
cost = (1.0 / (2 * m)) * np.sum(np.square(predictions - y))
return cost
def gradient_descent(X, y, theta, alpha, num_iters, batch_size):
m = len(y)
J_history = np.zeros(num_iters)
for iter in range(num_iters):
shuffled_indices = np.random.permutation(m)
X_shuffled = X[shuffled_indices]
y_shuffled = y[shuffled_indices]
for start in range(0, m, batch_size):
end = min(start + batch_size, m)
X_batch = X_shuffled[start:end]
y_batch = y_shuffled[start:end]
gradients = (1.0 / batch_size) * X_batch.T.dot(X_batch.dot(theta) - y_batch)
theta = theta - alpha * gradients
J_history[iter] = compute_cost(X, y, theta)
return theta, J_history
# 示例数据
X = np.array([[1, 2], [1, 3], [1, 4]])
y = np.array([3, 5, 7])
theta = np.zeros(2)
alpha = 0.01
num_iters = 1500
batch_size = 2
theta, J_history = gradient_descent(X, y, theta, alpha, num_iters, batch_size)
print("Final theta:", theta)
总之，优化梯度下降算法对于提高机器学习模型的训练效率至关重要。通过合理选择批量大小、学习率调整策略以及应用先进的优化技巧（如动量法、RMSProp 和 Adam 优化器），可以显著加速模型的训练过程，并提高模型的整体性能。
