正文
曲线积分可以分为两类：
- 对弧长的曲线积分
- 对坐标的曲线积分
我们分别介绍
对弧长的曲线积分
对弧长曲线积分的现实(物理)含义：弧长 × 物理量 = 对弧长曲线积分值；
举例说明：
- 计算曲型物体质量：弧长 × 线密度 = 曲型物体质量
对弧长曲线积分的定义式：
其中 f(x,y)叫做被积函数； L叫做积分弧段，即被积分的弧长区域
对弧长的曲线积分的计算法：
将弧L转换为参数方程形式：
带入定义式可得：
需要注意的是：在对弧长的曲线积分中， 积分下限一定要小于积分上限
对坐标的曲线积分
对坐标曲线积分的现实(物理)含义：弧长 × 矢量 = 对坐标曲线积分值；
举例说明：
力沿弧形路径前进所做的功：路径弧长 × 力 = 对坐标积分值
由对坐标曲线积分的物理含义可以看出，因为这个曲线积分是对矢量的积分，通常情况下需要借助坐标系来把矢量分解为xx、yy两个方向，所以叫做对坐标的曲线积分。
对坐标曲线积分的定义式：
对坐标曲线积分的计算法：
①将弧L转换为参数方程形式
当参数tt单调地由α变到β时，力的作用点由起点逐渐变到终点
将参数方程带入定义式可得：
②若给出L的参数方程为y=ϕ(x)或x=ζ(y)
例如:
1、当给出y=ϕ(x)则有：
其中下限 a表示L的起点对应的 xx坐标，上限b表示 L的终点对应的xx坐标
2、当给出 x=ϕ(y)则有
其中下限 cc表示LL的起点对应的 yy坐标，上限dd表示 LL的终点对应的yy坐标
要注意的是：在对坐标的曲线积分中，积分下限对应的是L的起点的x/y坐标，积分上限对应的是L的终点的x/y坐标
两类曲线积分之间的联系
在平面曲线弧L上，两类曲线积分有如下关系：
cosα、cosβ为有向弧L在点(ϕ(t),ζ(t)),即(x,y)上的切向量分别对x、y方向上的方向余弦
