矩阵的特征值和特征向量
设
是一个阶方阵，是一个数，如果方程
(1)
存在非零解向量，则称为的一个特征值，相应的非零解向量称为属于特征值的特征向量．
（1）式也可写成，
(2)
这是个未知数个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是系数行列式
, (3)
即
上式是以为未知数的一元次方程，称为方阵的特征方程． 其左端是的次多项式，记作，称为方阵的特征多项式．
==
=
显然，的特征值就是特征方程的解．特征方程在复数范围内恒有解，其个数为方程的次数（重根按重数计算），因此，阶矩阵有个特征值．
设阶矩阵的特征值为由多项式的根与系数之间的关系，不难证明
（ⅰ）
（ⅱ）
若为 的一个特征值，则一定是方程的根, 因此又称特征根，若为方程的重根，则称为的重特征根．方程 的每一个非零解向量都是相应于的特征向量，于是我们可以得到求矩阵的全部特征值和特征向量的方法如下：
第一步：计算的特征多项式；
第二步：求出特征方程的全部根，即为的全部特征值；
第三步：对于的每一个特征值，求出齐次线性方程组：
的一个基础解系，则的属于特征值的全部特征向量是
（其中是不全为零的任意实数）．
使用matlab求特征值和特征向量
>>clc;clear;close;
>>A=[3,-1,-2;2,0,-2;2,-1,-1];
>>[X,B]=eig(A) %求矩阵A的特征值和特征向量,其中B的对角线元素是特征值,
%X的列是相应的特征向量 最后的结果是:
X =
0.7276 -0.5774 0.6230
0.4851 -0.5774 -0.2417
0.4851 -0.5774 0.7439
B =
1.0000 0 0
0 0.0000 0
0 0 1.0000
关于特征值和特征向量的定理
定理1 属于不同特征值的特征向量一定线性无关.
相似矩阵
设、都是阶方阵，若存在满秩矩阵， 使得
则称与相似，记作 ，且满秩矩阵称为将变为的相似变换矩阵．
“相似”是矩阵间的一种关系，这种关系具有如下性质：
⑴ 反身性：～ ；
⑵ 对称性：若 ～ ，则～ ；
⑶ 传递性：若～， ～ ，则～．
相似矩阵还具有下列性质：
相似矩阵有相同的特征多项式，因而有相同的特征值.
