本文描述了如何 使用R执行主成分分析 ( PCA )。您将学习如何 使用 PCA_预测_ 新的个体和变量坐标。我们还将提供 _PCA 结果_背后的理论。

在 R 中执行 PCA 有两种通用方法：

• 谱分解 ，检查变量之间的协方差/相关性
  
• 检查个体之间的协方差/相关性的_奇异值分解_
  

根据 R 的帮助，SVD 的数值精度稍好一些。

可视化

创建基于 ggplot2 的优雅可视化。

演示数据集

我们将使用运动员在十项全能中的表现数据集（查看文末了解数据获取方式），这里使用的数据描述了运动员在两项体育赛事中的表现

数据描述：

一个数据框，包含以下13个变量的27个观测值。

X100m

一个数字向量

跳远

一个数字向量

投篮

一个数字向量

高跳

一个数字向量

X400m

数字向量

X110m.hurdle

一个数字向量

飞碟

一个数字向量

撑杆跳高

一个数字向量

绳索

数字向量

X1500米

数字向量

级别

与等级相对应的数字向量

点

一个数字向量，指定获得的点数

运动会

水平变量 Decastar OlympicG

简而言之，它包含：

• 训练个体（第 1 到 23 行）和训练变量（第 1 到 10 列），用于执行主成分分析
  
• 预测个体（第 24 至 27 行）和预测变量（第 11 至 13 列），其坐标将使用 PCA 信息和通过训练个体/变量获得的参数进行预测。
  

加载数据并仅提取训练的个体和变量：

head(dec)

计算 PCA

在本节中，我们将可视化 PCA。

• 进行可视化
  
• 计算 PCA
  

prcomp

• 可视化 特征值 （_碎石图_）。显示每个主成分解释的方差百分比。
  

• 具有相似特征的个人被归为一组。
  

viz(res )

• 变量图。正相关变量指向图的同一侧。负相关变量指向图表的相反两侧。
  

vzpca(res )

• 个体和变量的双标图
  

fvbiplot(res )

PCA 结果

# 特征值
eigva
  
# 变量的结果
coord # 坐标
contrib # 对PC的贡献
cos2 # 代表性的质量 
# 个人的结果
coord # 坐标
contrib # 对PC的贡献
cos2 # 代表性的质量

使用 PCA 进行预测

在本节中，我们将展示如何仅使用先前执行的 PCA 提供的信息来预测补充个体和变量的坐标。

预测个人

• 数据：第 24 到 27 行和第 1 到 10 列。新数据必须包含与用于计算 PCA 的活动数据具有相同名称和顺序的列（变量）。
  

#  预测个体的数据

in <- dec\[24:27, 1:10\]

• 预测新个体数据的坐标。使用 R 基函数 predict ()：
  

predict

• 包括预测个人在内的个人图表：
  

# 训练个体的图谱
fvca_
# 添加预测个体
fdd(p)

个体的预测坐标可以计算如下：

• 使用 PCA 的中心和比例对新的个人数据进行中心化和标准化
  
• 通过将标准化值与主成分的特征向量（载荷）相乘来计算预测坐标。
  

可以使用下面的 R 代码：

# 对预测个体进行标准化
ined <- scale
# 个体个体的坐标
rtaton
ird <- t(apply)

补充变量

定性/分类变量

数据集 在第 13 列包含与比赛类型相对应的 补充定性变量 。

定性/分类变量可用于按组为样本着色。分组变量的长度应与训练个体的数量相同。

groups <- as.factor
fvnd(res.pca
             )

计算分组变量水平的坐标。给定组的坐标计算为组中个体的平均坐标。

library(magrittr) # 管道函数%>%。

# 1. 单个坐标
getind(res)
# 2. 组的坐标
coord %>% >
  as\_data\_frame%>%
  selec%>%
  mutate%>%
  group_b %>%

定量变量

数据：11:12 栏。应与训练个体的数量相同（此处为 23）

quup <- dec\[1:23, 11:12\]
head(quup .sup)

给定定量变量的坐标被计算为定量变量与主成分之间的相关性。

# 预测坐标并计算cos2
quaord <- cor
quaos2 <- qord^2
# 变量的图形，包括补充变量
p <- fviar(reca)
fvdd(p, quord, color ="blue", geom="arrow")

PCA 结果背后的理论

变量的 PCA 结果

在这里，我们将展示如何计算变量的 PCA 结果：坐标、cos2 和贡献：

• var.coord = 载荷 * 分量标准差
  
• var.cos2 = var.coord ^ 2
  
• var.contrib. 变量对给定主成分的贡献为（百分比）：（var.cos2 * 100）/（成分的总 cos2）
  

# 计算坐标
#::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
logs <- rotation
sdev <- sdev
vad <- t(apply)

# 计算 Cos2
#::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
vaos2 <- vard^2
head(vars2\[, 1:4\])

# 计算贡献
#::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
comos2 <- apply
cnrib <- function
var.otrb <- t(apply)
head(vaib\[, 1:4\])

PCA 结果

• ind.coord = res.pca$x
  
• 个人的 Cos2。两步：
  
• 计算每个个体与 PCA 重心之间的平方距离：d2 = [(var1\_ind\_i - mean\_var1)/sd\_var1]^2 + …+ [(var10\_ind\_i - mean\_var10)/sd\_var10]^2 + …+..
  
• 将 cos2 计算为 ind.coord^2/d2
  
• 个人对主成分的贡献：100 (1 / number\_of\_individuals)(ind.coord^2 / comp_sdev^2)。请注意，每列所有贡献的总和为 100
  

# 个人的坐标
#::::::::::::::::::::::::::::::::::
inod <- rpa$x
head(in.c\[, 1:4\])

# 个人的Cos2
#:::::::::::::::::::::::::::::::::
# 1.个体与#PCA重心之间距离的平方
# PCA重心的平方
ceer<- center
scle<- scale
d <- apply(decaive,1,gnce, center, scale)
# 2. 计算cos2。每一行的总和为1
is2 <- apply(inrd, 2, cs2, d2)
head(is2\[, 1:4\])

# 个人的贡献
#:::::::::::::::::::::::::::::::
inib <- t(apply(iord, 1, conib, 
                       sdev, nrow))
head(inib\[, 1:4\])