PCA算法的基本原理可以参考：http://www.cnblogs.com/mikewolf2002/p/3429711.html
对一副宽p、高q的二维灰度图，要完整表示该图像，需要m = p*q维的向量空间，比如100*100的灰度图像，它的向量空间为100*100=10000。下图是一个3*3的灰度图和表示它的向量表示：
该向量为行向量，共9维，用变量表示就是[v0, v1, v2, v3, v4, v5, v6, v7, v8]，其中v0...v8，的范围都是0-255。
现在的问题是假如我们用1*10000向量，表示100*100的灰度图，是否向量中的10000维对我们同样重要？肯定不是这样的，有些维的值可能对图像更有用，有些维相对来说作用小些。为了节省存储空间，我们需要对10000维的数据进行降维操作，这时就用到了PCA算法，该算法主要就是用来处理降维的，降维后会尽量保留更有意义的维数，它的思想就是对于高维的数据集来说，一部分维数表示大部分有意义的数据。
算法的基本原理：
假设 
表示一个特征向量，其中 
【注：xi可能也是一个列向量】
1.计算均值向量 
2.计算协方差矩阵 S
3.计算S的特征值
和对应的特征向量
，根据线性代数知识我们知道有公式：
4. 对特征值按照大小进行递减排序，特征向量的顺序和特征值是一致的。假设我们只需要保留K个维数(K<n)，则我们会选取特征值最大的前K个特征向量，用这K个特征向量，来表示图像，这K个向量就是图像K个主成分分量。
对于被观测的向量
，它的K个主成分量可以通过下面公式计算得到：
，其中
因为W是正交矩阵，所有有
。
下面我们在OpenCV中看一个计算PCA的例子：
1.首先读入10副人脸图像，这些图像大小相等，是一个人的各种表情图片。
2.把图片转为1*pq的一维形式，p是图像宽，q是图像高。这时我们的S矩阵就是10行，每行是pq维的向量。
3.然后我们在S上执行PCA算法，设置K=5，求得5个特征向量，这5个特征向量就是我们求得的特征脸，用这5个特征脸图像，可以近似表示之前的十副图像。
#include "opencv2/core/core.hpp"
#include "opencv2/highgui/highgui.hpp"
#include "opencv2/contrib/contrib.hpp"
#include <iostream>
#include <fstream>
#include <sstream>
using namespace cv;
using namespace std;
//把图像归一化为0-255，便于显示
Mat norm_0_255(const Mat& src)
{
Mat dst;
switch(src.channels())
{
case 1:
cv::normalize(src, dst, 0, 255, NORM_MINMAX, CV_8UC1);
break;
case 3:
cv::normalize(src, dst, 0, 255, NORM_MINMAX, CV_8UC3);
break;
default:
src.copyTo(dst);
break;
}
return dst;
}
//转化给定的图像为行矩阵
Mat asRowMatrix(const vector<Mat>& src, int rtype, double alpha = 1, double beta = 0)
{
//样本数量
size_t n = src.size();
//如果没有样本，返回空矩阵
if(n == 0)
return Mat();
//样本的维数
size_t d = src[0].total();
Mat data(n, d, rtype);
//拷贝数据
for(int i = 0; i < n; i++)
{
if(src[i].empty())
{
string error_message = format("Image number %d was empty, please check your input data.", i);
CV_Error(CV_StsBadArg, error_message);
}
// 确保数据能被reshape
if(src[i].total() != d)
{
string error_message = format("Wrong number of elements in matrix #%d! Expected %d was %d.", i, d, src[i].total());
CV_Error(CV_StsBadArg, error_message);
}
Mat xi = data.row(i);
//转化为1行，n列的格式
if(src[i].isContinuous())
{
src[i].reshape(1, 1).convertTo(xi, rtype, alpha, beta);
} else {
src[i].clone().reshape(1, 1).convertTo(xi, rtype, alpha, beta);
}
}
return data;
}
int main(int argc, const char *argv[])
{
vector<Mat> db;
string prefix = "../att_faces/";
db.push_back(imread(prefix + "s1/1.pgm", IMREAD_GRAYSCALE));
db.push_back(imread(prefix + "s1/2.pgm", IMREAD_GRAYSCALE));
db.push_back(imread(prefix + "s1/3.pgm", IMREAD_GRAYSCALE));
db.push_back(imread(prefix + "s1/4.pgm", IMREAD_GRAYSCALE));
db.push_back(imread(prefix + "s1/5.pgm", IMREAD_GRAYSCALE));
db.push_back(imread(prefix + "s1/6.pgm", IMREAD_GRAYSCALE));
db.push_back(imread(prefix + "s1/7.pgm", IMREAD_GRAYSCALE));
db.push_back(imread(prefix + "s1/8.pgm", IMREAD_GRAYSCALE));
db.push_back(imread(prefix + "s1/9.pgm", IMREAD_GRAYSCALE));
db.push_back(imread(prefix + "s1/10.pgm", IMREAD_GRAYSCALE));
// Build a matrix with the observations in row:
Mat data = asRowMatrix(db, CV_32FC1);
// PCA算法保持5主成分分量
int num_components = 5;
//执行pca算法
PCA pca(data, Mat(), CV_PCA_DATA_AS_ROW, num_components);
//copy pca算法结果
Mat mean = pca.mean.clone();
Mat eigenvalues = pca.eigenvalues.clone();
Mat eigenvectors = pca.eigenvectors.clone();
//均值脸
imshow("avg", norm_0_255(mean.reshape(1, db[0].rows)));
//五个特征脸
imshow("pc1", norm_0_255(pca.eigenvectors.row(0)).reshape(1, db[0].rows));
imshow("pc2", norm_0_255(pca.eigenvectors.row(1)).reshape(1, db[0].rows));
imshow("pc3", norm_0_255(pca.eigenvectors.row(2)).reshape(1, db[0].rows));
imshow("pc4", norm_0_255(pca.eigenvectors.row(3)).reshape(1, db[0].rows));
imshow("pc5", norm_0_255(pca.eigenvectors.row(4)).reshape(1, db[0].rows));
while(1)
waitKey(0);
// Success!
return 0;
}
我们输入的10副图像为：
得到的5副特征脸为：
均值脸为：
程序代码：参照工程FirstOpenCV32
