Dijkstra算法
1.定义概览
Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的单源最短路径算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法是很有代表性的最短路径算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。注意该算法要求图中不存在负权边。
问题描述：在无向图 G=(V,E) 中，假设每条边 E[i] 的长度为 w[i]，找到由顶点 V0 到其余各点的最短路径。（单源最短路径）
2.算法描述
1)算法思想：设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径 , 就将加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。
2)算法步骤：
a.初始时，S只包含源点，即S＝{v}，v的距离为0。U包含除v外的其他顶点，即:U={其余顶点}，若v与U中顶点u有边，则<u,v>正常有权值，若u不是v的出边邻接点，则<u,v>权值为∞。
b.从U中选取一个距离v最小的顶点k，把k，加入S中（该选定的距离就是v到k的最短路径长度）。
c.以k为新考虑的中间点，修改U中各顶点的距离；若从源点v到顶点u的距离（经过顶点k）比原来距离（不经过顶点k）短，则修改顶点u的距离值，修改后的距离值的顶点k的距离加上边上的权。
d.重复步骤b和c直到所有顶点都包含在S中。
执行动画如下图(图片来自网络)：
算法实现如下：
using System; using System.Collections.Generic; using System.Linq; using System.Text; namespace Dijkstra算法 { class Program { static int length = 6; static string[] shortedPath = new string[length]; static int noPath = 2000; static int MaxSize = 1000; static int[,] G = { { noPath, noPath, 10, noPath, 30, 100 }, { noPath, noPath, 5, noPath, noPath, noPath }, { noPath, noPath, noPath, 50, noPath, noPath }, { noPath, noPath, noPath, noPath, noPath, 10 }, { noPath, noPath, noPath, 20, noPath, 60 }, { noPath, noPath, noPath, noPath, noPath, noPath } }; static string[] PathResult = new string[length]; static int[] path1 = new int[length]; static int[,] path2 = new int[length, length]; static int[] distance2 = new int[length]; static void Main(string[] args) { int dist1 = getShortedPath(G, 0, 5, path1); Console.WriteLine("Node 0 To 5:"); for (int i = 0; i < path1.Length; i++) Console.Write(path1[i].ToString() + " "); Console.WriteLine("Length:" + dist1); int[] pathdist = getShortedPath(G, 0, path2); Console.WriteLine("\nNode 0 To other:"); for (int j = 0; j < pathdist.Length; j++) { Console.WriteLine("Node 0 to " + j + " path:"); for (int i = 0; i < length; i++) { Console.Write(path2[j, i].ToString() + " "); } Console.WriteLine("length:" + pathdist[j]); } Console.ReadKey(); } //从某一源点出发，找到到某一结点的最短路径 static int getShortedPath(int[,] G, int start, int end, int[] path) { bool[] s = new bool[length]; //表示找到起始结点与当前结点间的最短路径 int min; //最小距离临时变量 int curNode = 0; //临时结点，记录当前正计算结点 int[] dist = new int[length]; int[] prev = new int[length]; //初始结点信息 for (int v = 0; v < length; v++) { s[v] = false; dist[v] = G[start, v]; if (dist[v] > MaxSize) prev[v] = 0; else prev[v] = start; } path[0] = end; dist[start] = 0; s[start] = true; //主循环 for (int i = 1; i < length; i++) { min = MaxSize; for (int w = 0; w < length; w++) { if (!s[w] && dist[w] < min) { curNode = w; min = dist[w]; } } s[curNode] = true; for (int j = 0; j < length; j++) if (!s[j] && min + G[curNode, j] < dist[j]) { dist[j] = min + G[curNode, j]; prev[j] = curNode; } } //输出路径结点 int e = end, step = 0; while (e != start) { step++; path[step] = prev[e]; e = prev[e]; } for (int i = step; i > step / 2; i--) { int temp = path[step - i]; path[step - i] = path[i]; path[i] = temp; } return dist[end]; } //从某一源点出发，找到到所有结点的最短路径 static int[] getShortedPath(int[,] G, int start, int[,] path) { int[] PathID = new int[length];//路径（用编号表示） bool[] s = new bool[length]; //表示找到起始结点与当前结点间的最短路径 int min; //最小距离临时变量 int curNode = 0; //临时结点，记录当前正计算结点 int[] dist = new int[length]; int[] prev = new int[length]; //初始结点信息 for (int v = 0; v < length; v++) { s[v] = false; dist[v] = G[start, v]; if (dist[v] > MaxSize) prev[v] = 0; else prev[v] = start; path[v, 0] = v; } dist[start] = 0; s[start] = true; //主循环 for (int i = 1; i < length; i++) { min = MaxSize; for (int w = 0; w < length; w++) { if (!s[w] && dist[w] < min) { curNode = w; min = dist[w]; } } s[curNode] = true; for (int j = 0; j < length; j++) { if (!s[j] && min + G[curNode, j] < dist[j]) { dist[j] = min + G[curNode, j]; prev[j] = curNode; } } } //输出路径结点 for (int k = 0; k < length; k++) { int e = k, step = 0; while (e != start) { step++; path[k, step] = prev[e]; e = prev[e]; } for (int i = step; i > step / 2; i--) { int temp = path[k, step - i]; path[k, step - i] = path[k, i]; path[k, i] = temp; } } return dist; } } }
