数学分析部分
1. 已知函数 $f(x)=\ln x-ax$, 其中 $a$ 为常数. 如果 $f(x)$ 有两个零点 $x_1,x_2$. 试证: $x_1x_2>e^2$.
2. 设方程 $\sin x-x\cos x=0$ 在 $(0,+\infty)$ 中的第 $n$ 个解为 $x_n$. 证明: $$\bex n\pi+\cfrac{\pi}{2}-\cfrac{1}{n\pi} <x_n<n\pi+\cfrac{\pi}{2}. \eex$$
3. 试讨论 $f(x)=x\sin x$, $g(x)=x\ln x$ 在 $[1,\infty)$ 上的一致连续性.
4. 设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有二阶连续导数, 试证存在 $\xi\in (a,b)$ 使得 $$\bex f(a)+f(b)+2f\sex{\frac{a+b}{2}} =\frac{1}{4}(b-a)^2f''(\xi). \eex$$
5. 求曲面积分 $$\bex \iint_S z\rd x\rd y, \eex$$ 其中 $S$ 是曲面 $\dps{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1}$, 方向为外侧.
6. 设 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续, $g$ 在 $[a,b]$ 上可微且 $g'\leq 0$. 证明: 存在 $\xi\in (a,b)$, 使得 $$\bex \int_a^b f(x)g(x)\rd x =g(a)\int_a^\xi f(x)\rd x +g(b)\int_\xi^b f(x)\rd x. \eex$$
7. 设 $f$ 在 $(0,\infty)$ 上一致连续, 且对 $\forall\ h>0$, $\dps{\vlm{n}f(nh)}$ 存在. 试证: $\dps{\vlm{x}f(x)}$ 存在.
8. 设 $[0,T]$ 上的非负函数 $f,g,h$ 满足微分不等式 $$\bex \cfrac{\rd f}{\rd t}+h\leq gf,\quad 0\leq t\leq T. \eex$$ 试证: $$\bex f(t)+\int_0^t h(s)\rd s \leq f(0)\sez{ 1+\int_0^t g(s)\rd s\cdot \exp\sex{\int_0^t g(s)\rd s} },\quad 0\leq t\leq T. \eex$$
9. 设 $f(x)$ 在 $\bbR$ 上任意阶可导, 且 $$\bex \forall\ n\in\bbZ^+,\ f\sex{\frac{1}{n}}=0. \eex$$ 试证: $f^{(n)}(0)=0$.
10. 设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可微, $f(a)=f(b)=0$, 则对 $\forall\ x\in [a,b]$, 存在 $\xi\in (a,b)$, 使得 $$\bex f(x)=\frac{f''(\xi)}{2}(x-a)(x-b). \eex$$
11. 设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上二阶可微, 试证: 对任意 $c\in (a,b)$, 存在 $\xi\in (a,b)$ 使得 $$\bex \frac{f''(\xi)}{2}=\frac{f(a)}{(a-b)(a-c)} +\frac{f(b)}{(b-a)(b-c)}+\frac{f(c)}{(c-a)(c-b)}. \eex$$
12. 设 $f$ 在 $\bbR$ 上 $(n+1)$ 可导, 试证: 对 $\forall\ a\in\bbR$, $$\bex \frac{\rd^n}{\rd x^n}\sez{\frac{f(x)-f(a)}{x-a}}_{x=a}=\frac{f^{(n+1)}(a)}{n+1}. \eex$$
13. 设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可导, 且 $f'(a)=f'(b)$, 试证: $$\bex \exists\ \xi\in (a,b),\st f'(\xi)(\xi-a)=f(\xi)-f(a). \eex$$
14. 试求 $$\bex \vlm{n}n^2\sex{x^\frac{1}{n}-x^\frac{1}{n+1}},\quad x>0. \eex$$
15. 试求 $$\bex \vlm{n}\sex{\int_0^\pi x^{2013}\sin^n x\rd x}^\frac{1}{n}. \eex$$
16. 求参数 $a,b,c$ 的范围, 使得$$\sum_{n=3}^\infty a^n n^b \ln^c n$$
(1) 绝对收敛;
(2) 条件收敛
(3) 发散.
17. 半径为 $r$ 的球的中心在单位球 $x^2+y^2+z^2=1$ 的表面上, 问 $r$ 取何值时该球位于单位球内部分的表面积最大?
18. 设 $a>0$, 求 $\dps{y=\frac{x^3}{2a-x}}$ 与 $x=2a$ 所围成的面积.
19. 讨论 $f(x)=x\sin x, x^\al \ln x (0<\al<1)$ 在 $[1,\infty)$ 上是否一致连续, 并说明理由.
20. 设 $$\bex f(x)=\int_x^{x^2} \sex{1+\frac{1}{2t}}^t\sez{e^{\frac{1}{\sqrt{t}}}-1}\rd t,\quad t>0. \eex$$ 求 $$\bex \vlm{n}f(n)\sin\frac{1}{n}. \eex$$
高等代数部分
1. 设 $\mathbb{P}$ 为数域, 如果 $p_1(x),\cdots,p_r(x)$ 是数域 $\mathbb{P}$ 上的 $r$ 个两两不同的首项系数为 $1$ 的不可约多项式, 证明: $f(x)=p_1(x)\cdots p_r(x)$ 在数域 $\mathbb{P}$ 上无重根.
2. 设 $V$ 是由次数不超过 $4$ 的一切实系数一元多项式组成的向量空间. 对于 $V$ 上的任意多项式 $f(x)$, 以 $x^2-1$ 除 $f(x)$ 所得的商式及余式分别为 $q(x)$ 和 $r(x)$, 记 $$\bex f(x)=q(x)(x^2-1)+r(x). \eex$$ 设 $\scrA$ 是 $V$ 到 $V$ 的映射, 使得 $$\bex \scrA(f(x))=r(x). \eex$$ 试证: $\scrA$ 是一个线性变换, 并求它关于基底 $\sed{1,x,x^2,x^3,x^4}$ 的矩阵.
3. 计算行列式: $$\bex D_n=\sev{\ba{cccccc} x_1y_1&x_1y_2&x_1y_3&\cdots&x_1y_{n-1}&x_1y_n\\ x_1y_2&x_2y_2&x_2y_3&\cdots&x_2y_{n-1}&x_2y_n\\ x_1y_3&x_2y_3&x_3y_3&\cdots&x_3y_{n-1}&x_3y_n\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\ x_1y_{n-1}&x_2y_{n-1}&x_3y_{n-1}&\cdots&x_{n-1}y_{n-1}&x_{n-1}y_n\\ x_1y_n&x_2y_n&x_3y_n&\cdots&x_{n-1}y_n&x_ny_n \ea}. \eex$$
4. 设 $\bbP$ 是一个数域, $f(x),g(x)\in\bbP[x]$. 证明: $$\bex (f(x),g(x))=1\lra (f(x^n),g(x^n))=1, \eex$$ 这里, $n$ 是任意给定的自然数.
5.
(1) 若 $\lm\neq 0$ 是矩阵 $A$ 的一个特征值, 则 $\dps{\frac{1}{\lm }|A|}$ 是 $A^*$ 的一个特征值;
(2) 若 $\al$ 是 $A$ 的一个特征向量, 则 $\al$ 也是 $A^*$ 的一个特征向量;
(3) $(AB)^*=B^*A^*$.
6. 设 $W$ 为数域 $\bbP$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 的子空间, $\scrA$ 是 $V$ 的一个线性变换, $\scrA W$ 表示 $W$ 中向量的像组成的子空间, 令 $W_0=W\cap \ker \scrA$, 证明: $$\bex \dim W=\dim \scrA W+\dim W_0. \eex$$
7. 设 $A$, $E-A$, $E-A^{-1}$ 均为可逆矩阵, 试证: $$\bex (E-A)^{-1}+(E-A^{-1})^{-1}=E. \eex$$
8. 设 $\scrA$ 是线性空间 $V$ 上的一个线性变换, 记 $$\bex \ker \scrA=\sed{\al\in V; \scrA\al=0},\quad \im \scrA=\sed{\scrA\al;\ \al\in V}. \eex$$ 试证: $$\bex \im \scrA\cap \ker \scrA=\sed{0}\lra \ker \scrA=\ker (\scrA^2). \eex$$
9. 设 $U,W$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 的两个子空间, 且 $$\bex \dim U+\dim W=n. \eex$$ 求证: 存在 $V$ 上的线性变换 $\scrA$ 使得 $$\bex \ker \scrA=U,\quad \im \scrA=W. \eex$$
10. 设 $\scrA$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换, 且 $$\bex \exists\ r\in \bbZ^+,\st \ker(\scrA^r)=\ker(\scrA^{r+1}). \eex$$ 试证: $$\bex \forall\ s\in\bbZ^+,\quad \ker (\scrA^r)=\ker(\scrA^{r+s}). \eex$$
11. 设 $V$ 是 $n$ 维线性空间, $\scrA$, $\scrB$ 是 $V$ 上的两个线性变换, 且 $\scrA$ 有 $n$ 个互异的特征值. 证明: $\scrA\scrB=\scrB\scrA$ 的充要条件是 $\scrB$ 是 $\scrA^0=\scrE$ (恒等变换), $\scrA$, $\scrA^2$, $\cdots$, $\scrA^{n-1}$ 的线性组合.
12. 设 $\scrA$ 是数域 $\bbF$ 上的线性空间 $V$ 上一个线性变换, 在 $\bbF[x]$ 中, $$\bex f(x)=p(x)q(x). \eex$$ 求证: $$\bex \ker(f(\scrA))=\ker (p(\scrA))\oplus \ker (q(\scrA)). \eex$$
13. 设 $$\bex A=\sex{\ba{ccc} 0&10&30\\ 0&0&2010\\ 0&0&0 \ea}. \eex$$ 试证: 矩阵方程 $X^2=B$ 无解.
14. 设 $V$ 是数域 $\bbF$ 上的有限维向量空间, $\scrA$ 是 $V$ 上的线性变换. 证明: $V$ 能够分解成两个子空间的直和 $V=U\oplus W$, 其中 $U,W$ 满足: 对 $\forall\ u\in U$, 存在 $k\in\bbZ^+$, 使得 $\scrA^k(u)=0$; 对 $\forall\ w\in W,\ \forall\ m\in\bbZ^+$, 存在 $w_m\in V$, 使得 $w=\scrA^m(w_m)$.
15. 设 $V$ 是实数域 $\bbR$ 上的 $n$ 维线性空间, $\scrA$ 是 $V$ 上的线性变换, 满足 $\scrA^2=-\scrE$.
(1) 证明: $n$ 是偶数;
(2) 若 $\scrB$ 是 $V$ 上的线性变换, 满足 $\scrB\scrA=\scrA\scrB$, 则 $\det(\scrB)\geq 0$.
16. 已知二次型 $$\bex f(x,y,z)=x^2+3y^2+z^2+2bxy+2xz+2yz \eex$$ 的秩是 $2$, 求参数 $b$, 并指出方程 $$\bex f(x,y,z)=4 \eex$$ 表示什么曲面?
17. 设 $\scrA$, $\scrB$ 是某数域上的 $n$ 维线性空间上的两个线性变换, 满足 $$\bex \left\{\ba{ll} \scrA \circ \scrB =\scrB\circ \scrA,\\ \exists\ N\in \bbZ^+,\ s.t.\ \scrA^N=\scrO. \ea\right. \eex$$ 证明: $$\bex \scrA+\scrB \mbox{ 是可逆线性变换} \lra \scrB \mbox{ 是可逆线性变换}. \eex$$
18. 设 $\scrA$ 是欧氏空间 $V$ 上的正交变换, 且 $\scrA^m=\scrE\ (m>1)$. 记 $W_\scrA=\sed{\al\in V;\ \scrA\al=\al}$, $W_\scrA^\perp$ 为其正交补, 而 $$\bex \forall\ \al\in V,\ \exists\ |\ \beta\in W_\scrA,\ \gamma\in W_\scrA^\perp, \st \al=\beta+\gamma. \eex$$ 试证: $$\bex \beta=\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m \scrA^{i-1}\al. \eex$$
19. 设 $V=\bbC^{n\times n}$ 表示复数域 $\bbC$ 上的 $n$ 阶方阵关于矩阵的加法和数与矩阵的数量乘法构成的线性空间, $A\in V$, 定义 $V$ 上的变换 $\scrA$ 如下: $$\bex \scrA(X)=AX-XA,\quad \forall\ X\in V. \eex$$ 试证:
(1) $\scrA$ 是线性变换;
(2) $\scrA(XY)=X \scrA(Y)+ \scrA(X) Y$;
(3) $0$ 是 $\scrA$ 的一个特征值;
(4) 若 $A^k=0$, 则 $\scrA^{2k}=\scrO$.
20. 设 $\lm_1,\cdots,\lm_n$ 是 $n$ 阶实矩阵 $A$ 的全部特征值, 但 $-\lm_i\ (i=1,2,\cdots,n)$ 不是 $A$ 的特征值, 定义 $\bbR^{n\times n}$ 的线性变换 $$\bex \scrA(X)=A^TX+XA,\quad \forall\ X\in\bbR^{n\times n}. \eex$$
(1) 试证: $\scrA$ 是可逆线性变换;
(2) 对任意实对称矩阵 $C$, 必存在唯一的实对称矩阵 $B$, 使得 $A^TB+BA=C$.
21. 设 $A,B$ 是两个 $n$ 阶正定矩阵, 证明:
(1) 若 $AB=BA$, 则 $AB$ 也是正定矩阵;
(2) 若 $A-B$ 正定, 则 $B^{-1}-A^{-1}$ 也正定.
22. 设 $n$ 阶方阵 $A$ 正定. 再设
(1) $b_1,\cdots,b_n$ 是任意 $n$ 个非零实数, 试证: 矩阵 $B=(a_{ij}b_ib_j)$ 也正定.
(2) $B$ 为 $n\times m$ 实矩阵, 且 $\rank(B)=m$, 试证: $B^TAB$ 也正定.
(3) $B$ 为 $n$ 阶正定阵, 试证: $C=(a_{ij}b_{ij})$ 也正定.
23. 设 $A,B$ 为 $n$ 阶实方阵, 且 $A$ 为非零半正定阵, $B$ 为正定阵, 试证: $|A+B|>|B|$.
24. 设 $A$ 为 $n$ 阶可逆方阵, 试证: 存在正交阵 $P$, 正定阵 $U,V$ 使得 $$\bex A=RU=VR. \eex$$
25. 设 $Q$ 为 $n$ 阶正定阵, $x$ 为 $n$ 维列向量, 试证: $$\bex 0\leq x^T (Q+xx^T)^{-1}x<1. \eex$$
26. 设 $A$, $B$ 均为实对称矩阵, $A$ 正定. 试证: $B$ 正定当且仅当 $AB$ 的特征值全大于零.
27. 设 $A$ 为 $n$ 阶正定矩阵, $x$, $y$ 为 $n$ 维列向量且满足 $x^Ty>0$. 证明矩阵 $$\bex M=A+\cfrac{xx^T}{x^Ty} -\cfrac{Ayy^TA}{y^TAy} \eex$$ 正定.
28. 证明: $A=\sex{a_{ij}}$ 是正定矩阵, 其中 $$\bex a_{ij}=\frac{1}{i+j-1}. \eex$$
29. 设 $W$ 是欧氏空间 $V$ 的子空间, 定义 $\al\in V$ 到 $W$ 的距离 $\rd (\al,W)=|\al-\al'|$, 其中 $\al'$ 为 $\al$ 在 $W$ 上的正交投影. 设 $\al_1,\cdots,\al_m$ 为 $W$ 的一组基, 试证: $$\bex \rd (\al,W)=\sqrt{\cfrac{G(\al_1,\cdots,\al_m,\al)}{G(\al_1,\cdots,\al_m)}}, \eex$$ 其中 $G(\al_1,\cdots,\al_m)$ 为 $\al_1,\cdots,\al_m$ 的 Gram 矩阵.
30. 设 $n$ 级实对称矩阵 $A$ 的所有一级主子式之和与所有二级主子式之和均为零. 证明 $A$ 是零矩阵.
31. 记 $\lm_1(A)\geq \lm_2(A)\geq\cdots\geq \lm_n(A)$ 为 $n$ 阶实对称矩阵 $A$ 的特征值. 试证:
(1) 若 $A,B$ 均为实对称矩阵, 实数 $0\leq a\leq 1$, 则对 $i=1,2,\cdots,n$, 有 $$\bex a\lm_i(A)+(1-a)\lm_n(B)\leq \lm_i(aA+(1-a)B)\leq a\lm_i(A)+(1-a)\lm_1(B); \eex$$
(2) 若 $B$ 半正定, 则 $$\bex \lm_1(A+B)\geq \lm_1(A),\quad \lm_n(A+B)\geq \lm_n(A). \eex$$
32. 设 $A,B$ 分别为 $m$ 阶和 $n$ 阶矩阵. 试证: $A,B$ 无公共特征值的充要条件是矩阵方程 $AX=XB$ 只有零解.
33. 试证: 不存在 $n$ 阶矩阵 $X,Y$ 使得 $XY-YX=E$.
34. 设 $A(t)=(a_{ij}(t))$ 中每个 $a_{ij}(t)$ 都是可导的, 试证: $$\bex \frac{\rd}{\rd t}|A(t)|=|A(t)|\cdot \tr \sez{A^{-1}(t)\cdot\frac{\rd A(t)}{\rd t}}. \eex$$
35. 设 $n$ 阶反对称矩阵 $A=(a_{ij})$ 的行列式为 $1$. 对任意的 $x$, 试计算 $B=(a_{ij}+x)$ 的行列式.
36. 设 $A$ 为正交阵, $A$ 的特征值均为实数, 试证: $A$ 为对称矩阵.
37.
(1) 对任意矩阵 $A$, 矩阵方程 $AXA=A$ 都有解;
(2) 如果矩阵方程 $AY=C$ 和 $ZB=C$ 有解, 则方程 $AXB=C$ 有解.
38. 设 $A$, $B$ 均为实对称矩阵, $A$ 正定. 试证: $B$ 正定当且仅当 $AB$ 的特征值全大于零.
39. 设 $f$ 是 $\bbC^{n\times n}$ 到 $\bbC$ 的线性映射, 满足 $f(E)=n$, 且对任意的矩阵 $A,B\in \bbC^{n\times n}$, 有 $f(AB)=f(BA)$. 试证: $f=\tr$.
40. 设 $A$ 为对称矩阵, 存在线性无关的向量 $x_1,x_2$, 使得 $x_1^TAx_1>0$, $x_2^TAx_2<0$. 证明: 存在线性无关的向量 $x_3,x_4$ 使得 $x_1,x_2,x_3,x_4$ 线性相关, 且 $x_3^TAx_3=x_4^TAx_4=0$.
