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[再寄小读者之数学篇](2014-05-30 平均值不等式)

2014-05-30 612

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简介： (平均值不等式) 任意

$n$ 个非负实数的几何平均值小于或等于它们的算术平均值, 即

$\forall\ a_i\geq 0\ (i=1,2,\cdots,n)$ , 恒有

$\bex \sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}\leq \cfrac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}, \eex$ 且其中的等号当且仅当

$a_1=a_2=\cdots=a_n$ 时成立.

(平均值不等式) 任意 $n$ 个非负实数的几何平均值小于或等于它们的算术平均值, 即 $\forall\ a_i\geq 0\ (i=1,2,\cdots,n)$ , 恒有

$\bex \sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}\leq \cfrac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}, \eex$ 且其中的等号当且仅当

$a_1=a_2=\cdots=a_n$ 时成立.

张祖锦

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张祖锦

[再寄小读者之数学篇](2014-07-16 与对数有关的不等式)

试证:

$\bex (1+a)\ln (1+a)+(1+b)\ln (1+b)0. \eex$ 提示: 对函数

$f(x)=x\ln x$ , 有 $$\bex f'(x)=\ln x+1,\quad f''(x)=\frac{1}{x}>0,\quad (x>0).

张祖锦

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张祖锦

[再寄小读者之数学篇](2014-05-30 对数不等式)

(对数不等式)

$\bex \cfrac{x}{1+x}\leq \ln(1+x)\leq x\quad(x>-1), \eex$ 等号当且仅当

$x=0$ 时成立.

张祖锦

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张祖锦

[再寄小读者之数学篇](2014-06-26 绝对值不等式)

$\bex \sev{x}+\sev{y}+\sev{z}+\sev{x+y+z}\geq \sev{x+y}+\sev{y+z}+\sev{z+x}. \eex$

张祖锦

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张祖锦

[再寄小读者之数学篇](2014-07-16 二阶中值)

设

$f(x)$ 在

$[a,b]$ 上二阶可微, 试证: 对任意

$c\in (a,b)$ , 存在

$\xi\in (a,b)$ 使得 $$\bex \frac{f''(\xi)}{2}=\frac{f(a)}{(a-b)(a-c)} +\frac{f(b)}{(b-a)(b-c)}+\frac{f(c)}{(c-a)(c-b)}.

张祖锦

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[再寄小读者之数学篇](2014-05-27 无穷乘积的计算)

(from yqs210)

$(1+\frac{1}{1*2}) (1+\frac{1}{2*3}) (1+\frac{1}{3*4}).......(1+\frac{1}{n*(n+1)}) =?$ $$(1+\frac{1}{1^2} )(1+\frac{1}{2^2} )(1+\frac{1}{3^2} ).

张祖锦

633 0 0

张祖锦

[再寄小读者之数学篇](2014-11-19 一个代数不等式)

$\bex \sqrt{x^2+x+1}+ \sqrt{y^2+y+1} +\sqrt{x^2-x+1}+ \sqrt{y^2-y+1}\geq 2(x+y). \eex$ Ref. [Proof Without Words: An Algebraic Inequality, The College Mathematics Journal].

张祖锦

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张祖锦

[再寄小读者之数学篇](2014-11-19 关于平方数的交叉和的两个代数等式)

For

$n\geq 1$ to be an integer,

$\bex (2n)^2-(2n+1)^2+\cdots+(4n)^2 =-(4n+1)^2+\cdots+(6n)^2, \eex$ $$\bex (2n+1)^2-(2n+2)^2+\cdots+(4n-1)^2 =-(4n)^2+(4n+1)^2-\cdots+(6n-1)^2.

张祖锦

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[再寄小读者之数学篇](2014-06-03 华罗庚等式)

在 [赵春来, 徐明曜, 《抽象代数I》, 习题 1.3, Page 46] 有华罗庚等式: $$\bex AB\neq 0,E\ra A-\sex{A^{-1}+\sex{B^{-1}-A}^{-1}}^{-1}=ABA.

张祖锦

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张祖锦

机器学习/深度学习

[再寄小读者之数学篇](2014-06-03 计算两个无穷级数)

(from zhangwuji) $$\bex \sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{n^3+2n+1}{(n^4+n^2+1)n!},\quad \sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{1}{(n^4+n^2+1)n!}.

张祖锦

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张祖锦

[再寄小读者之数学篇](2014-12-24 乘积型不等式)

$$\bex \int f^2g \leq C\sen{f}_{L^2}^\frac{5q-4}{3q-2} \sen{\p_3f}_{L^q}^\frac{q}{3q-2} \sen{g}_{L^2}^\frac{q-2}{3q-2} \sen{\n_hg}_{L^2}^\frac{2q}{3q-...

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