试证: $$\bex (1+a)\ln (1+a)+(1+b)\ln (1+b)<(1+a+b)\ln (1+a+b),\quad \forall\ a,b>0. \eex$$
提示: 对函数 $f(x)=x\ln x$, 有 $$\bex f'(x)=\ln x+1,\quad f''(x)=\frac{1}{x}>0,\quad (x>0). \eex$$ 按照 [2014-07-16 凹函数与次线性性] 即得结论.
[再寄小读者之数学篇](2014-07-16 与对数有关的不等式)
2014-07-17
650
版权
版权声明：
本文内容由阿里云实名注册用户自发贡献，版权归原作者所有，阿里云开发者社区不拥有其著作权，亦不承担相应法律责任。具体规则请查看《
阿里云开发者社区用户服务协议》和
《阿里云开发者社区知识产权保护指引》。如果您发现本社区中有涉嫌抄袭的内容，填写
侵权投诉表单进行举报，一经查实，本社区将立刻删除涉嫌侵权内容。
简介：
试证: $$\bex (1+a)\ln (1+a)+(1+b)\ln (1+b)0. \eex$$
提示: 对函数 $f(x)=x\ln x$, 有 $$\bex f'(x)=\ln x+1,\quad f''(x)=\frac{1}{x}>0,\quad (x>0).
目录
相关文章
|
机器学习/深度学习
资源调度
[再寄小读者之数学篇](2014-11-21 关于积和式的一个不等式)
在 Rajendra Bhatia 的 Matrix Analysis 中, Exercise I.5.8 说: Prove that for any matrices $A,B$ we have $$\bex |\per (AB)|^2\leq \per (AA^*)\cdot \per (B^*B).
662
0
0
[再寄小读者之数学篇](2014-11-19 一个代数不等式)
$$\bex \sqrt{x^2+x+1}+ \sqrt{y^2+y+1} +\sqrt{x^2-x+1}+ \sqrt{y^2-y+1}\geq 2(x+y). \eex$$ Ref. [Proof Without Words: An Algebraic Inequality, The College Mathematics Journal].
650
0
0
[再寄小读者之数学篇](2014-11-14 矩阵的应用: 多项式)
多项式 $$\bex p(z)=z^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0 \eex$$ 的根的估计.
580
0
0
[再寄小读者之数学篇](2014-11-14 矩阵的应用: 数论)
1. 代数数: $\al\in\bbC$ 称为代数数, 如果它是某个系数为有理数的非零多项式的根.
2. 代数数全体构成一个域. (利用伙伴矩阵, 张量积很容易证明)
3. 代数整数: $\al\in\bbC$ 称为代数整数, 如果它是某个首一整系数多项式的根.
579
0
0
|
机器学习/深度学习
[再寄小读者之数学篇](2014-10-18 利用 Lagrange 中值定理求极限)
试求 $$\bex \vlm{n}n^2\sex{x^\frac{1}{n}-x^\frac{1}{n+1}},\quad x>0. \eex$$
解答: $$\beex \bea \mbox{原极限} &=\vlm{n}n^2\cdot x^\xi\ln x\sex{\frac{1}{n}...
632
0
0
[再寄小读者之数学篇](2014-07-16 二阶中值)
设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上二阶可微, 试证: 对任意 $c\in (a,b)$, 存在 $\xi\in (a,b)$ 使得 $$\bex \frac{f''(\xi)}{2}=\frac{f(a)}{(a-b)(a-c)} +\frac{f(b)}{(b-a)(b-c)}+\frac{f(c)}{(c-a)(c-b)}.
591
0
0
|
机器学习/深度学习
[再寄小读者之数学篇](2014-07-17 行列式的计算)
试计算矩阵 $A=(\sin(\al_i+\al_j))_{n\times n}$ ($n\geq2$) 的行列式.
提示: 根据行列式的性质:
(1) 行列式两列线性相关, 则行列式为零;
(2) 若记第 $k$ 列为向量 $\al$ 的行列式为 $D(\al)$, 则 $$\b...
731
0
0
|
Perl
[再寄小读者之数学篇](2014-07-09 多项式的辗转相除与线性变换)
设 $V$ 是由次数不超过 $4$ 的一切实系数一元多项式组成的向量空间. 对于 $V$ 上的任意多项式 $f(x)$, 以 $x^2-1$ 除 $f(x)$ 所得的商式及余式分别为 $q(x)$ 和 $r(x)$, 记 $$\bex f(x)=q(x)(x^2-1)+r(x).
863
0
0
[再寄小读者之数学篇](2014-06-26 绝对值不等式)
$$\bex \sev{x}+\sev{y}+\sev{z}+\sev{x+y+z}\geq \sev{x+y}+\sev{y+z}+\sev{z+x}. \eex$$
565
0
0
[再寄小读者之数学篇](2014-06-21 微分不等式)
Assume that $a$ is a positive constant, $x(t),y(t)$ are two nonnegative $C^1(\bbR^+)$ functions, and $D(t)$ is a nonnegative function, satisfying $$\b...
589
0
0