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[再寄小读者之数学篇](2014-06-26 绝对值不等式)

2014-06-26 573

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简介：

$\bex \sev{x}+\sev{y}+\sev{z}+\sev{x+y+z}\geq \sev{x+y}+\sev{y+z}+\sev{z+x}. \eex$

张祖锦

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[再寄小读者之数学篇](2014-12-24 乘积型不等式)

$$\bex \int f^2g \leq C\sen{f}_{L^2}^\frac{5q-4}{3q-2} \sen{\p_3f}_{L^q}^\frac{q}{3q-2} \sen{g}_{L^2}^\frac{q-2}{3q-2} \sen{\n_hg}_{L^2}^\frac{2q}{3q-...

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[再寄小读者之数学篇](2014-11-21 关于积和式的一个不等式)

在 Rajendra Bhatia 的 Matrix Analysis 中, Exercise I.5.8 说: Prove that for any matrices

$A,B$ we have $$\bex |\per (AB)|^2\leq \per (AA^*)\cdot \per (B^*B).

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[再寄小读者之数学篇](2014-11-19 一个代数不等式)

$\bex \sqrt{x^2+x+1}+ \sqrt{y^2+y+1} +\sqrt{x^2-x+1}+ \sqrt{y^2-y+1}\geq 2(x+y). \eex$ Ref. [Proof Without Words: An Algebraic Inequality, The College Mathematics Journal].

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[再寄小读者之数学篇](2014-11-19 关于平方数的交叉和的两个代数等式)

For

$n\geq 1$ to be an integer,

$\bex (2n)^2-(2n+1)^2+\cdots+(4n)^2 =-(4n+1)^2+\cdots+(6n)^2, \eex$ $$\bex (2n+1)^2-(2n+2)^2+\cdots+(4n-1)^2 =-(4n)^2+(4n+1)^2-\cdots+(6n-1)^2.

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[再寄小读者之数学篇](2014-11-14 矩阵的应用: 多项式)

多项式

$\bex p(z)=z^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0 \eex$ 的根的估计.

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[再寄小读者之数学篇](2014-10-27 Frobenius 范数是酉不变范数)

对任两酉阵

$U,V$ , 有

$\bex \sen{A}_F=\sen{UAV}_F. \eex$ 事实上, $$\beex \bea \sen{UAV}_F^2&=\tr(V^*A^*U^*\cdot UAV)\\ &=\tr (V^*A^*AV)\\ &=\tr(AVV^*A^*)...

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[再寄小读者之数学篇](2014-10-18 利用 Lagrange 中值定理求极限)

试求

$\bex \vlm{n}n^2\sex{x^\frac{1}{n}-x^\frac{1}{n+1}},\quad x>0. \eex$ 解答: $$\beex \bea \mbox{原极限} &=\vlm{n}n^2\cdot x^\xi\ln x\sex{\frac{1}{n}...

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[再寄小读者之数学篇](2014-10-08 乘积型 Sobolev 不等式)

$$\bex n\geq 2, 1\leq p

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[再寄小读者之数学篇](2014-07-16 与对数有关的不等式)

试证:

$\bex (1+a)\ln (1+a)+(1+b)\ln (1+b)0. \eex$ 提示: 对函数

$f(x)=x\ln x$ , 有 $$\bex f'(x)=\ln x+1,\quad f''(x)=\frac{1}{x}>0,\quad (x>0).

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[再寄小读者之数学篇](2014-07-16 二阶中值)

设

$f(x)$ 在

$[a,b]$ 上二阶可微, 试证: 对任意

$c\in (a,b)$ , 存在

$\xi\in (a,b)$ 使得 $$\bex \frac{f''(\xi)}{2}=\frac{f(a)}{(a-b)(a-c)} +\frac{f(b)}{(b-a)(b-c)}+\frac{f(c)}{(c-a)(c-b)}.

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[再寄小读者之数学篇](2014-06-26 绝对值不等式)

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