5. (Gelfand) 设 $A\in M_n$, 证明: $$\bex \rho(A)=\vlm{k}\sen{A^k}_\infty^\frac{1}{k}. \eex$$
证明: (1). 对 $\forall\ \lm\in \sigma(A)$, $$\bex \exists\ x\neq 0,\st Ax=\lm x, \eex$$ 而 $$\bex A^kx=\lm^k x\ra \sen{A^k x}_2=|\lm|^k\sen{x}_2, \eex$$ $$\bex \sen{A^k}_\infty=\max_{\sen{x}_2=1}\sen{A^kx}_2 \geq |\lm|^k. \eex$$ 于是 $$\bex \sen{A^k}_{\infty}^\frac{1}{k}\geq |\lm|,\quad \vli{k}\sen{A^k}_{\infty}^\frac{1}{k}\geq |\lm|. \eex$$ 让 $\lm$ 跑遍 $\sigma(A)$ 即有 $$\bex \vli{k}\sen{A^k}_{\infty}^\frac{1}{k}\geq \rho(A). \eex$$ (2). 当 $\lm>\rho$ 时, $$\bex \sum_{k=0}^\infty \sen{\frac{A^k}{\lm^k}}_\infty \leq \sum_{k=0}^\infty \sen{\frac{A}{\lm}}_\infty^k =\frac{1}{1-\frac{\sen{A}_\infty}{\lm}}. \eex$$ 由 Cauchy-Hadamard 公式即知 $$\bex \vls{k}\frac{\sen{A^k}_\infty^\frac{1}{k}}{\lm}\leq 1. \eex$$ 令 $\lm\searrow \rho(A)$ 即有 $$\bex \vls{k}\sen{A^k}_\infty^\frac{1}{k}\leq \rho(A). \eex$$
