积分第一中值定理. 若 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续, 则 $$\bex \exists\ \xi\in (a,b),\st \int_a^b f(x)\rd x=f(\xi)(b-a). \eex$$ 推广的积分第一中值定理. 若 $f,g$ 都在 $[a,b]$ 上连续, 且 $g$ 在 $[a,b]$ 上不变号, 则 $$\bex \exists\ \xi\in [a,b],\st \int_a^b f(x)g(x)\rd x =f(\xi)\int_a^b g(x)\rd x. \eex$$ 积分第二中值定理. 设 $f$ 在 $[a,b]$ 上可积.
(1). 若函数 $g$ 在 $[a,b]$ 上减, 且 $g(x)\geq 0$, 则 $$\bex \exists\ \xi\in [a,b],\st \int_a^b f(x)g(x)\rd x =g(a)\int_a^\xi f(x)\rd x. \eex$$ (2). 若函数 $g$ 在 $[a,b]$ 上增, 且 $g(x)\geq 0$, 则 $$\bex \exists\ \eta\in [a,b],\st \int_a^b f(x)g(x)\rd x =g(b)\int_\eta^b f(x)\rd x. \eex$$ (3). 若函数 $g$ 为单调函数, 则 $$\bex \exists\ \xi\in [a,b],\st \int_a^b f(x)g(x)\rd x =g(a)\int_a^\xi f(x)\rd x +g(b)\int_\xi^b f(x)\rd x. \eex$$
