设 f 在 [0,1] 上可微, 且满足条件 \dpsf(1)=3∫1/30ex−1f(x)\rdx, 证明: 存在 ξ∈(0,1), 使得 f(ξ)+f′(ξ)=0.
证明: 取 F(x)=exf(x), 则由中值定理, \bex∃ η∈(0,1/3),\stF(1)=ef(1)=3∫1/30exf(x)\rdx=ηf(η)=F(η).\eex 再由 Rolle 定理, \bex∃ ξ∈(0,η)⊂(0,1),\st0=F′(ξ)=eξ[f(ξ)+f′(ξ)].\eex
设 f 在 [0,1] 上可微, 且满足条件 \dpsf(1)=3∫1/30ex−1f(x)\rdx, 证明: 存在 ξ∈(0,1), 使得 f(ξ)+f′(ξ)=0.
证明: 取 F(x)=exf(x), 则由中值定理, \bex∃ η∈(0,1/3),\stF(1)=ef(1)=3∫1/30exf(x)\rdx=ηf(η)=F(η).\eex 再由 Rolle 定理, \bex∃ ξ∈(0,η)⊂(0,1),\st0=F′(ξ)=eξ[f(ξ)+f′(ξ)].\eex
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