[再寄小读者之数学篇](2014-06-19 满足三个积分等式的函数)

设 $f$ 为 $[0,1]$ 上的连续非负函数, 找出满足条件

$$\bex \int_0^1 f(x)\rd x=1,\quad \int_0^1 xf(x)\rd x=a,\quad \int_0^1 x^2f(x)\rd x=a^2 \eex$$ 的所有 $f$, 其中 $a$ 为给定实数.  

 

解答: 由

$$\beex \bea a^2&=\sex{\int_0^1 xf(x)\rd x}^2\\ &=\sex{\int_0^1 \sqrt{f(x)}\cdot x\sqrt{f(x)}\rd x}^2\\ &\leq \int_0^1 f(x)\rd x\cdot \int_0^1 x^2f(x)\rd x\\ &=1\cdot a^2\\ &=a^2 \eea \eeex$$ 及 Schwarz 不等式中等式成立的条件知 $$\bex \exists\ k,\st x\sqrt{f(x)}=k\sqrt{f(x)}. \eex$$ 故 $f\equiv 0$ (否则, 若 $f(x_0)>0$, 则在某 $U(x_0)$ 内, $x=k$, 矛盾).