在第 2.3 节中, 我们已经知道, 对 $$\bee\label{ode} M(x,y)\rd x+N(x,y)\rd y=0 \eee$$而言,
1. 若 $M_y=N_x$, 则 \eqref{ode} 为恰当 ode, 而可通过求解 pde 组 $$\bex u_x=M,\quad u_y=N \eex$$ 求出 $u$, 而 \eqref{ode} 的通解为 $u=C$.
2. 若 $M_y\neq N_x$, 则再若
(1). $\dps{\frac{M_y-N_x}{N}=\varphi(x)}$, 则 \eqref{ode} 有积分因子 $e^{\int \varphi(x)\rd x}$;
(2). $\dps{\frac{M_y-N_x}{-M}=\psi(y)}$, 则 \eqref{ode} 有积分因子 $e^{\int \psi(y)\rd y}$.
上述讨论了仅含有 $x$ 或 $y$ 的积分因子. 现在我们讨论下另一求解方法, 叫做分组求积分因子法. 设 \eqref{ode} 的左端可分成两组, $$\bee\label{ode_two} (P_1\rd x+Q_1\rd y) +(P_2\rd x+Q_2\rd y)=0, \eee$$其中第一、第二组各有积分因子 $\mu_1,\mu_2$, 即 $$\bex \mu_1(P_1\rd x+Q_1\rd y)=\rd u_1,\quad \mu_2(P_2\rd x+Q_2\rd y)=\rd u_2. \eex$$ 若存在可微函数 $g_1,g_2$ 使得 $$\bex \mu_1g_1(u_1)=\mu_2g_2(u_2), \eex$$ 则 $\mu=\mu_1g_1(u_1)$ 是 \eqref{ode_two} 的积分因子. 事实上, $$\beex \bea &\quad \mu[(P_1\rd x+Q_1\rd y)+(P_2\rd x+Q_2\rd y]\\ &=g_1(u_1)\rd u_1+g_2(u_2)\rd u_2\\ &=\rd \sex{\int g(u_1)\rd u_1+\int g(u_2)\rd u_2}. \eea \eeex$$
例: 求解 ode $$\bee\label{examp} x(4y\rd x+2x\rd y)+y^3(3y\rd x+5x\rd y)=0. \eee$$
解: 设 $$\bex P_1=4xy,\quad Q_1=2x^2;\quad\quad P_2=3y^4,\quad Q_2=5xy^3. \eex$$ 则 $$\bex P_{1,y}-Q_{1,x}=0,\quad P_{2,y}-Q_{2,x}=12y^3-7y^3=7y^3. \eex$$ 据此, 第一组有积分因子 $\mu_1=1$, $$\bex \mu_1(P_1\rd x+Q_1\rd y)=\rd u_1,\quad u_1=2x^2y, \eex$$ 第二组有积分因子 $\mu_2=e^{\int \frac{7}{5x}\rd x}=x^\frac{7}{5}$, $$\bex \mu_2(P_2\rd x+Q_2\rd y)=\rd u_2,\quad u_2=\frac{5}{4} x^\frac{12}{5}y^4. \eex$$ 注意到 $$\bex 1\cdot \frac{1}{2}\sex{\frac{5}{4}}^\frac{1}{4}2x^2y =x^\frac{7}{5}\cdot \sex{\frac{5}{4} x^\frac{12}{5}y^4}^\frac{1}{4}, \eex$$ (取 $$\bex g_1(u_1)=\frac{1}{2}\sex{\frac{5}{4}}^\frac{1}{4}u_1,\quad g_2(u_2)=u_2^\frac{1}{4} \eex$$ 即可) 我们知 \eqref{examp} 有积分因子 $x^2y$ (常数没有关系, 可化为 $1$): $$\beex \bea 0&=x^2y[x(4y\rd x+2x\rd y)+y^3(3y\rd x+5x\rd y)]\\ &=(4x^3y^2\rd x+2x^4y\rd y) +(3x^2y^5\rd x+5x^3y^4\rd y)\\ &=\rd (x^4y^2)+\rd (x^3y^5)\\ &=\rd (x^4y^2+x^3y^5). \eea \eeex$$
注: 2015 年 3 月 23 日上课的时候讲积分因子这一小节, 这是举的第二个例子, 可惜了, 不能完完全全按照书上的方法求解. 就此写出, 以为(读第四声)来者. 本 ``小文'' 由自丁同仁李承志《常微分方程教程(第三版)》第 49 页, 及王高雄等《常微分方程(第三版)》第 61 页习题 2(11).
