1. 设 $f$ 在 $(a,b)$ 内可微, $$\bex \lim_{x\to a^+}f(x)=A=\lim_{x\to b^-}f(x). \eex$$ 试证: $$\bex \exists\ \xi\in (a,b),\st f'(\xi)=0. \eex$$
2. 设 $f$ 在 $[0,1]$ 上可微, $f(0)=0$, $f(1)=1$, $k_1,\cdots,k_n$ 为 $n$ 个正数. 试证: $$\bex \exists\ 0\leq x_1<\cdots<x_n\leq 1,\st \sum_{i=1}^n \frac{k_i}{f(x_i)}=\sum_{i=1}^n k_i. \eex$$
3. 设 $f\in C[a,b]\cap C^2(a,b)$, 试证: $$\bex \exists\ \xi\in (a,b),\st f(b)-2f\sex{\frac{a+b}{2}} +f(a)=\frac{(b-a)^2}{4}f''(\xi). \eex$$
4. 设 $f$ 在 $[0,\infty)$ 上可微, $f(0)=0$, 且 $$\bex \exists\ A>0,\st |f'(x)|\leq A|f(x)|,\quad \forall\ x\in [0,\infty). \eex$$ 试证: $f\equiv 0$.
5. 设 $f$ 在 $[0,a]$ 上适合 $|f''(x)|\leq M$, $f$ 在 $(0,a)$ 内取得最大值. 试证: $$\bex |f'(0)|+|f'(a)|\leq Ma. \eex$$
6. (Darboux 定理) (1). 设 $f$ 在 $(a,b)$ 内可导, 则 $(a,b)$ 内的点要么为 $f'(x)$ 的连续点, 要么为 $f'$ 的第二类间断点. (2). 设 $f$ 在 $[a,b]$ 上可导, $f'(a)<f'(b)$, 则 $$\bex \forall\ c:\ f'(a)<c<f'(b),\ \exists\ \xi\in (a,b),\st f'(\xi)=c. \eex$$
7. 设 $f\in C^2(\bbR)$ 且有界. 试证: $$\bex \exists\ \xi\in \bbR,\st f''(\xi)=0. \eex$$
8. 设 $f\in C^3[a,b]$. 试证: $$\bex \exists\ \xi\in (a,b),\st f(b)=f(a)+\frac{1}{2}(b-a)[f'(a)+f'(b)]-\frac{1}{12}(b-a)^3f'''(\xi). \eex$$
作业. 设 $f\in C^2[a,b]$ 适合 $f(a)=f(b)=0$. 试证: $$\bex \forall\ x\in [a,b],\ \exists\ \xi\in (a,b),\st f(x)=\frac{1}{2}(x-a)(x-b)f''(\xi). \eex$$
