f(x)≠0, 在 [a,b] 上可微, f(a)=f(b)=0, 证明至少存在点 c∈[a,b], 使 \bex|f′(c)|>4(b−a)2∫ba|f(x)|\rdx.\eex
证明: \beex \bea \int_a^b |f(x)|\rd x&=\int_a^\frac{a+b}{2}\sev{\int_a^x f'(t)\rd t}\rd x +\int_\frac{a+b}{2}^b \sev{\int_x^b f'(t)\rd t}\rd x\\ &\leq \int_a^\frac{a+b}{2}\int_a^x \sev{f'(t)}\rd t\rd x +\int_\frac{a+b}{2}^b \int_x^b \sev{f'(t)}\rd t\rd x\\ &\leq \max_{\sez{a,\frac{a+b}{2}}}|f'|\cdot \int_a^\frac{a+b}{2} (x-a)\rd x +\max_{\sez{\frac{a+b}{2},b}}|f'|\cdot \int_\frac{a+b}{2}^b (b-x)\rd x\\ &=\frac{(b-a)^2}{8}\sez{\max_{\sez{a,\frac{a+b}{2}}}|f'|,\max_{\sez{\frac{a+b}{2},b}}|f'|}\\ &\leq \frac{(b-a)^2}{4}\max_{[a,b]}|f'|. \eea \eeex
(1). f′(x) 在 \dps\seza,a+b2 上不变号, f′(x) 在 \dps\seza+b2,b 上也不变号;
(2). |f′(x)| 在 \dps\seza,a+b2 为常数, |f′(x)| 在 \dps\seza+b2,b 上也为常数;
(3). \dpsmax\seza,a+b2|f′|=max\seza+b2,b|f′|.
这些条件及 f(a)=f(b)=0 蕴含 f≡0.