本文来自TangSong.
1.($15'$) 用开覆盖定理证明闭区间上连续函数必一致连续.
2.$(15')$ $f(x)$ 是 $[a,b]$ 上的实函数.叙述关于Riemann和
\[\sum_{k=1}^n f(t_i)(x_i-x_{i-1})\]
的Cauchy准则 (不用证明) 并用你叙述的Cauchy准则证明闭区间上的单调函数可积.
3.$(15')$ $(a,b)$ 上的连续函数 $f(x)$ 有反函数. 证明反函数连续.
4.$(15')$ $f(x_1,x_2,x_3)$ 是 $C^2$ 映射,
\[\frac{\partial f}{\partial x_1}(x_1^0,x_2^0,x_3^0)\not =0\]
证明 $x^0$ 附近关于 $f=0$ 的隐函数 $x_1=x_1(x_2,x_3)$ 二次可微并求出
\[\frac{\partial^2 x_1}{\partial x_2\partial x_3}\]的表达式.
5.$(15')$ $n\geq m, f:U\subseteq R^n\rightarrow R^m$ 是 $C^1$ 映射, $U$ 为开集且 $f$ 的Jacobi矩阵秩处处为 $m$. 证明 $f$ 将 $U$ 中的开集映为开集.
6.$(15')$ \[x_1=\sqrt{2},x_{n+1}=\sqrt{2+x_n}.\] 证明 $x_n$ 收敛并求极限值.
7.$(15')$ 证明
\[\int_0^{+\infty}\frac{\sin x}{x}\rd x\] 收敛并求值. 写出计算过程.
8.$(15')$
(1) 证明存在 $[a,b]$ 上的多项式序列 $p_n(x)$ 使得
\[\int_a^b p_i(x)p_j(x)\rd x=\delta_{ij},\]
并使得对于 $[a,b]$ 上的连续函数 $f(x)$ 若
\[\int_a^b f(x)p_n(x)\rd x=0,\forall\ n\] 必有 $f\equiv 0$.
(2) 设 $g(x)$ 在 $[a,b]$ 平方可积, $g$ 关于 $p_n$ 的展式系数为
\[g(x)\sim\int_a^b g(x)p_n(x)\rd x.\]
问
\[\int_a^b g^2(x)\rd x=\sum_{n=1}^{+\infty}\left[\int_a^b g(x)p_n(x)\rd x\right]^2\] 是否成立.
9.$(15') $\[\mbox{正项级数}\sum_{n=1}^{+\infty} a_n\mbox{收敛},\lim_{n\to +\infty}b_n=0\]
\[c_n=a_1b_n+a_2b_{n-1}+\dots +a_nb_1,\mbox{证明 } c_n \mbox{ 收敛并求}\lim_{n\to +\infty}c_n\]
10.$(15')$ 幂级数 $\dps{\sum_{n=1}^{+\infty} a_nx^n}$ 的收敛半径为 $R,0<R<+\infty$, 证明 \[\sum_{n=1}^{+\infty} a_nR^n\mbox{ 收敛的充要条件为 }\sum_{n=1}^{+\infty} a_nx^n\mbox{ 在 }[0,R)\mbox{ 一致收敛}.\]
