双选择性信道下正交啁啾分复用（OCDM）的低复杂度均衡算法研究

Wang, X.; Jiang, Z.; Shen, X.-H. Low Complexity Equalization of Orthogonal Chirp Division Multiplexing in Doubly-Selective Channels. Sensors 2020, 20, 3125.

摘要

本文研究了一种用于双选择性信道高速通信的正交啁啾分复用（OCDM）调制方案——统一相位正交啁啾分复用（UP-OCDM）。通过配备统一相位矩阵，UP-OCDM能够在保持OCDM优势的同时减少存储需求。本文证明了UP-OCDM的变换矩阵具有循环特性，并基于此特性揭示了UP-OCDM系统在双选择性信道下的特殊信道结构：(1)等效频域信道矩阵可近似为带状矩阵；(2)基扩展模型（BEM）框架下的变换域信道矩阵是对角矩阵和循环矩阵乘积之和。基于这些特殊结构，提出了两种低复杂度均衡算法，分别基于块LDL^H分解和迭代矩阵求逆，将计算复杂度从$O(N^3)$分别降至$O(NQ^2)$和$O(iNM\log N)$。

1. 引言与研究背景

1.1 OFDM系统的局限性

正交频分复用（OFDM）是过去二十年中最成功的调制方案之一，其核心优势在于能够在正交子载波上传输信息符号。然而，OFDM系统存在关键缺陷：其采用的余弦信号子载波对多普勒扩展极为敏感。在双选择性信道（同时具有时变和频变特性）条件下，OFDM系统性能会严重恶化。

对于载频$f_c = 10$ GHz、子载波间隔$\Delta f = 20$ kHz的OFDM系统，当归一化多普勒频率$f_d T = 0.1$和$0.3$时，对应的移动速度分别达到216 km/h和648 km/h，这在高速移动通信场景中很常见。

1.2 啁啾信号的优势

啁啾信号是频率随时间线性变化的信号，具有以下优点：

• 自相关函数具有良好的时间分辨率
• 对多普勒效应不敏感
• 在雷达和声呐应用中得到广泛使用

基于啁啾信号的正交啁啾分复用（OCDM）系统通过使用啁啾子载波替代传统余弦子载波，在保持与OFDM相似的峰均功率比（PAPR）和频谱效率的同时，实现了更好的抗多普勒性能。

1.3 研究动机与贡献

现有OCDM系统存在两个主要问题：

1. 使用不同相位矩阵导致额外的存储开销
2. 缺乏针对双选择性信道的低复杂度均衡算法

本文的主要贡献包括：

• 提出UP-OCDM方案，通过统一相位矩阵减少50%的存储需求
• 证明UP-OCDM变换矩阵的循环结构
• 开发两种低复杂度均衡算法，大幅降低计算复杂度
• 通过仿真验证算法有效性

2. UP-OCDM系统模型详解

2.1 信号模型的数学构建

考虑一组基带连续啁啾信号，其啁啾率定义为：

$$a = -\frac{N}{T^2}$$

其中$N$是子载波数，$T$是符号持续时间。第$k$个啁啾子载波可表示为：

$$c_k(t) = e^{j\pi a(t-k\frac{T}{N})^2} = e^{-j\pi\frac{N}{T^2}(t-k\frac{T}{N})^2}, \quad 0 \leq t < T$$

这些啁啾波形满足正交性条件：

$$\int_0^T e^{-j\pi\frac{N}{T^2}(t-m\frac{T}{N})^2} e^{j\pi\frac{N}{T^2}(t-k\frac{T}{N})^2}dt = \delta(m-k)$$

调制后的传输信号为：

$$s(t) = \sum_{k=0}^{N-1} d_k c_k(t), \quad 0 \leq t < T$$

其中$d_k$是第$k$个子载波传输的符号，取自有限星座图（如4-QAM、16-QAM、64-QAM）。

2.2 离散信号表示

假设采样频率$f_s = \frac{N}{T}$，基带离散信号为：

$$s(n) = \sum_{k=0}^{N-1} d_k e^{-j\frac{\pi}{N}(n-k)^2}, \quad 0 \leq n < N$$

写成矩阵形式：

$$\mathbf{s} = \boldsymbol{\Phi}\mathbf{d}$$

其中变换矩阵$\boldsymbol{\Phi}$的$(m,n)$元素为：

$$\Phi(m,n) = e^{-j\frac{\pi}{N}(m-n)^2} = e^{-j\pi\frac{m^2}{N}} \cdot e^{j2\pi\frac{mn}{N}} \cdot e^{-j\pi\frac{n^2}{N}}$$

2.3 变换矩阵的分解

定义相位矩阵：

$$\boldsymbol{\Gamma} = \text{diag}([1, e^{-j\pi\frac{1^2}{N}}, ..., e^{-j\pi\frac{(N-1)^2}{N}}])$$

则变换矩阵可分解为：

$$\boldsymbol{\Phi} = \boldsymbol{\Gamma}\mathbf{F}^H\boldsymbol{\Gamma}$$

其中$\mathbf{F}$是$N \times N$的归一化DFT矩阵，其$(p,q)$元素为$F(p,q) = N^{-\frac{1}{2}}e^{-j2\pi\frac{pq}{N}}$。

这种分解表明UP-OCDM调制可通过三步实现：

1. 符号向量$\mathbf{d}$乘以相位矩阵$\boldsymbol{\Gamma}$
2. 执行IFFT运算
3. 再次乘以相同的相位矩阵$\boldsymbol{\Gamma}$

2.4 频谱效率分析

UP-OCDM中啁啾子载波的带宽为$B = N\Delta f = \frac{N}{T}$。模拟UP-OCDM信号理论上占用带宽为$B + \frac{N}{T^2}T = 2B$。然而，通过谱折叠技术，每个啁啾子载波的频谱可以折叠到基带$[-\frac{B}{2}, \frac{B}{2}]$范围内，采样率恰好为$f_s = B = \frac{N}{T}$ Hz。因此，通过上采样，UP-OCDM的频谱可以适配到与OFDM相同的带宽$B$内。

3. 循环矩阵结构的理论证明

3.1 循环性质的推导

变换矩阵$\boldsymbol{\Phi}$具有特殊的循环结构。定义$k = m - n$和$\Phi(m-n) = \Phi(m,n)$，可得：

$$\Phi(k) = \Phi(m,n) = \Phi(n,m)$$

这表明矩阵是对称的。对于任意整数$L \in [0, N-1]$：

$$\Phi(N-L) = e^{-j\pi\frac{(N-L)^2}{N}} = e^{-j\pi\frac{N^2-2NL+L^2}{N}}$$

展开后得：

$$\Phi(N-L) = e^{-j\pi N} \times e^{j2\pi L} \times e^{-j\pi\frac{L^2}{N}}$$

当$N$为奇数时，$e^{-j\pi N} = -1^N = -1$，因此：

$$\Phi(N-L) = e^{-j\pi\frac{L^2}{N}} = \Phi(L)$$

这证明了$\boldsymbol{\Phi}$是循环矩阵，可表示为：

$$\boldsymbol{\Phi} = \begin{bmatrix} \Phi(0) & \Phi(N-1) & \cdots & \Phi(1) \\ \Phi(1) & \Phi(0) & \cdots & \Phi(2) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \Phi(N-1) & \Phi(N-2) & \cdots & \Phi(0) \end{bmatrix}$$

3.2 循环结构的重要性

循环矩阵具有以下重要性质：

• 可通过FFT快速实现矩阵-向量乘法
• 循环矩阵的乘积仍是循环矩阵
• 可以被DFT矩阵对角化

这些性质为设计低复杂度均衡器提供了理论基础。

4. 双选择性信道模型

4.1 信道建模

双选择性信道同时具有时变和频变特性。为对抗符号间干扰（ISI），在每个传输符号开头添加长度为$L_{cp} = L$的循环前缀，其中$L$是信道长度。去除循环前缀后，接收信号为：

$$r[n] = \sum_{l=0}^{L-1} h_l[n]s[n-l] + w[n], \quad n = 0,1,...,N-1$$

其中：

• $h_l[n]$：第$l$条路径在时刻$n$的复增益
• $w[n]$：方差为$\sigma_w^2$的复加性高斯白噪声
• $L$：信道长度，最大延迟为$(L-1)T$

矩阵形式为：

$$\mathbf{r} = \mathbf{H}\mathbf{s} + \mathbf{w} = \mathbf{H}\boldsymbol{\Phi}\mathbf{d} + \mathbf{w}$$

4.2 信道矩阵结构

时域信道矩阵$\mathbf{H}$不是循环矩阵，而是具有复杂的时变结构。在双选择性信道下，$\mathbf{H}$的每个元素都随时间变化，这给均衡带来了巨大挑战。

5. 低复杂度均衡器设计

5.1 MMSE块均衡器（基准方案）

线性块MMSE均衡的估计为：

$$\hat{\mathbf{d}}_{MMSE} = \boldsymbol{\Phi}^H\hat{\mathbf{s}}_{MMSE} = \boldsymbol{\Phi}^H(\mathbf{H}^H\mathbf{H} + \gamma^{-1}\mathbf{I}_N)^{-1}\mathbf{H}^H\mathbf{r}$$

其中$\gamma = \sigma_d^2/\sigma_w^2$是信噪比。矩阵$(\mathbf{H}^H\mathbf{H} + \gamma^{-1}\mathbf{I}_N)$是$N \times N$的厄米矩阵，可通过LDL^H分解求解，但计算复杂度高达$O(N^3)$。

5.2 带状MMSE块均衡器

5.2.1 频域处理

对接收信号执行FFT：

$$\mathbf{r}_F = \mathbf{F}\mathbf{r} = \mathbf{F}\mathbf{H}\mathbf{s} + \mathbf{F}\mathbf{w}$$

将$\mathbf{s} = \boldsymbol{\Phi}\mathbf{d}$代入：

$$\mathbf{r}_F = \mathbf{F}\mathbf{H}\boldsymbol{\Phi}\mathbf{d} + \mathbf{w}_F$$

利用$\boldsymbol{\Phi} = \boldsymbol{\Gamma}\mathbf{F}^H\boldsymbol{\Gamma}$的分解：

$$\mathbf{r}_F = \mathbf{F}\mathbf{H}\mathbf{F}^H\mathbf{F}\boldsymbol{\Phi}\mathbf{F}^H\mathbf{F}\mathbf{d} + \mathbf{w}_F = \mathbf{H}_E\mathbf{d}_F + \mathbf{w}_F$$

其中等效信道矩阵$\mathbf{H}_E = \mathbf{F}\mathbf{H}\mathbf{F}^H\mathbf{F}\boldsymbol{\Phi}\mathbf{F}^H$。

5.2.2 带状近似

频率响应矩阵$\mathbf{H}_F = \mathbf{F}\mathbf{H}\mathbf{F}^H$在双选择性信道下不是对角矩阵，但可近似为带状矩阵。定义带状近似：

$$\mathbf{H}_B = \mathbf{H}_F \odot \mathbf{T}$$

其中$\odot$是逐元素乘积，$\mathbf{T}$是带宽为$2Q+1$的带状矩阵模板。

由于$\mathbf{F}\boldsymbol{\Phi}\mathbf{F}^H$是对角矩阵，其第$(k,k)$个元素为$e^{j\pi(\frac{k^2}{N}-\frac{1}{4})}$，记为$\boldsymbol{\Lambda}$，则：

$$\mathbf{H}_E = \mathbf{H}_F\boldsymbol{\Lambda}$$

由于$\boldsymbol{\Lambda}$对角元素的模为1，$\mathbf{H}_E$也可近似为带宽$2Q+1$的带状矩阵$\mathbf{E} = \mathbf{H}_B\boldsymbol{\Lambda}$。

5.2.3 带状LDL^H分解算法

构造矩阵$\mathbf{R} = \mathbf{E}\mathbf{E}^H + \gamma^{-1}\mathbf{I}_N$，它也是带宽为$2Q+1$的带状厄米矩阵。带状LDL^H分解算法如下：

算法1：带状LDL^H分解

输入: 带状矩阵R，带宽参数Q
输出: 下三角矩阵L，对角矩阵D

初始化: v = 0_{N×1}, L = I_N, D = I_N
for k = 0 to N-1 do
    m = max{0, k-Q}
    n = min{k+Q, N-1}
    for i = m to k-1 do
        v_i = L*_{k,i}D_{i,i}
    end for
    v_k = R_{k,k} - L_{k,m:k-1}v_{m:k-1}
    D_{k,k} = v_k
    L_{k+1:n,k} = (R_{k+1:n,k} - L_{k+1:n,m:k-1}v_{m:k-1})/v_k
end for

5.3 迭代LSQR块均衡器

5.3.1 基扩展模型（BEM）

采用BEM对时变信道建模，每个信道抽头增益表示为：

$$h_l[n] = \sum_{m=0}^{M-1} c_{l,m}\varphi_m[n]$$

其中$M$是BEM阶数，$c_{l,m}$是基系数，$\varphi_m[n]$是基函数（如复指数基、多项式基等）。

5.3.2 变换域信道矩阵构建

将BEM模型代入传输方程：

$$\mathbf{r} = \sum_{m=0}^{M-1} \mathbf{P}_m\mathbf{G}_m\mathbf{s} + \mathbf{w}$$

其中：

• $\mathbf{P}_m = \text{diag}([\varphi_m[0], \varphi_m[1], ..., \varphi_m[N-1]])$：BEM基的对角矩阵
• $\mathbf{G}m$：首列为$[c{0,m}, c{1,m}, ..., c{L-1,m}, 0, ..., 0]^T$的循环矩阵

由于$\mathbf{s} = \boldsymbol{\Phi}\mathbf{d}$，且$\boldsymbol{\Phi}$和$\mathbf{G}_m$都是循环矩阵，其乘积$\boldsymbol{\Theta}_m = \mathbf{G}_m\boldsymbol{\Phi}$也是循环矩阵。变换域信道矩阵为：

$$\mathbf{C} = \sum_{m=0}^{M-1} \mathbf{P}_m\boldsymbol{\Theta}_m$$

5.3.3 快速构建算法

利用循环矩阵可通过DFT对角化的性质：

$$\boldsymbol{\Theta}_m = \mathbf{F}^H\mathbf{D}_m\boldsymbol{\Lambda}\mathbf{F}$$

其中$\mathbf{D}m$是对角矩阵，其对角元素为BEM系数$c{l,m}$零填充到长度$N$后的DFT：

$$\mathbf{D}_m = \text{diag}(\mathbf{F}[c_{0,m}, c_{1,m}, ..., c_{L-1,m}, 0, ..., 0]^T)$$

因此：

$$\mathbf{C} = \sum_{m=0}^{M-1} \mathbf{P}_m\mathbf{F}^H\mathbf{V}_m\mathbf{F}$$

其中$\mathbf{V}_m = \mathbf{D}_m\boldsymbol{\Lambda}$。

5.3.4 LSQR迭代算法

LSQR算法在Krylov子空间中寻找最优解：

$$\mathcal{K}(\mathbf{C}^H\mathbf{C}, \mathbf{C}^H\mathbf{r}, i) = \text{span}\{\mathbf{C}^H\mathbf{r}, (\mathbf{C}^H\mathbf{C})\mathbf{C}^H\mathbf{r}, ..., (\mathbf{C}^H\mathbf{C})^{i-1}\mathbf{C}^H\mathbf{r}\}$$

算法通过最小化每次迭代的残差范数，逐步逼近最优解。收敛速度受条件数影响：

$$\text{cond}(\mathbf{C}) = ||\mathbf{C}|| \cdot ||\mathbf{C}^{-1}||$$

5.4 复杂度分析对比

算法	MMSE均衡	带状MMSE均衡	迭代LSQR均衡
复杂度	$O(N^3)$	$O(NQ^2)$	$O(iNM\log N)$
存储需求	$O(N^2)$	$O(NQ)$	$O(MN)$
适用场景	小规模系统	中等多普勒扩展	高多普勒扩展

6. 仿真结果与性能分析

6.1 仿真参数设置

• 符号持续时间：$T = 64$ μs
• 子载波数：$N = 256$
• 采样周期：$T/N = 0.25$ μs
• 信道模型：16径瑞利衰落，指数衰减功率时延谱（每径损失2 dB）
• 信道编码：码率1/2的卷积码
• 多普勒谱：Jakes模型
• 归一化多普勒扩展：$f_dT \in {0.1, 0.3}$

6.2 性能对比分析

图2：MMSE均衡器下的BER性能

图2描述：该图展示了UP-OCDM、OCDM和OFDM三种系统在MMSE均衡器下的误码率（BER）性能对比。横轴为$E_b/N_0$（比特能量与噪声功率密度之比），纵轴为BER（对数刻度）。图(a)对应归一化多普勒扩展0.1，图(b)对应0.3。

从图2可以观察到：

• UP-OCDM（红色曲线）和OCDM（蓝色曲线）性能几乎重合，证明统一相位矩阵不影响性能
• 两者均显著优于OFDM（绿色曲线），特别是在高SNR区域
• 4-QAM时，UP-OCDM/OCDM在SNR=5dB处开始优于OFDM
• 16-QAM时，交叉点移至SNR=10dB
• 64-QAM时，即使在最恶劣条件（$f_dT=0.3$），SNR>22dB时仍优于OFDM

这种性能提升源于啁啾子载波带来的时频分集增益。每个符号的能量分布在整个时频平面上，而非OFDM中的单一频点，从而获得更强的抗衰落能力。

图3：带状MMSE均衡器性能

图3描述：该图比较了UP-OCDM和OFDM在不同带宽参数$Q$下的带状MMSE均衡器性能。蓝色曲线代表OFDM，红色曲线代表UP-OCDM。三组曲线分别对应$Q=2$（最细线）、$Q=4$（中等粗细）、$Q=6$（最粗线）。

关键观察：

• UP-OCDM在所有$Q$值下均优于OFDM
• 随着$Q$增大，两系统性能都改善，因为信道矩阵近似更精确
• 高多普勒扩展（图b）下性能下降，因为带外ICI泄漏增加
• $Q=4$时UP-OCDM已能实现可靠传输，复杂度从$O(N^3)$降至$O(16N)$

性能优势的理论解释：UP-OCDM可视为预编码OFDM，符号向量$\mathbf{d}$被$\mathbf{F}$预编码，使每个符号能量分布在$N$个子载波上，获得分集增益。

图4：迭代LSQR均衡器性能

图4描述：该图展示了不同迭代次数$i$下的LSQR均衡器性能。蓝色曲线为UP-OCDM，绿色和红色曲线分别为两种OFDM的LSQR均衡器实现。实线、虚线、点线分别对应$i=1,4,8$。

性能特点：

• UP-OCDM的LSQR均衡器在高多普勒场景下表现优异
• 迭代4次即可接近MMSE性能，8次基本达到最优
• 低SNR区域存在半收敛现象：过多迭代可能放大噪声
• 相比OFDM的LSQR，UP-OCDM复杂度降低$O(N\log N)$

图5：算法综合比较

图5描述：该图在相同复杂度约束下比较三种均衡器。将算法按复杂度配对：$Q=2/i=1$（蓝色，最低复杂度）、$Q=4/i=4$（红色，中等复杂度）、$Q=6/i=8$（绿色，较高复杂度）。黑色曲线为$O(N^3)$复杂度的MMSE基准。

综合分析：

• 低多普勒扩展时，带状MMSE均衡器性价比最高
• 高多普勒扩展时，迭代LSQR均衡器更优
• 带状MMSE的性能改善随复杂度增加趋于饱和
• 迭代LSQR的性能随复杂度增加持续改善

附录A：循环矩阵性质

A.1 循环矩阵的DFT对角化

定理A.1：任何$N \times N$循环矩阵$\mathbf{C}$可以被DFT矩阵对角化：

$$\mathbf{C} = \mathbf{F}^H\mathbf{D}\mathbf{F}$$

其中$\mathbf{D}$是对角矩阵，其对角元素是$\mathbf{C}$第一列的DFT。

证明：设循环矩阵$\mathbf{C}$的第一列为$\mathbf{c} = [c_0, c1, ..., c{N-1}]^T$。定义生成多项式：

$$c(z) = \sum_{k=0}^{N-1} c_k z^k$$

对于DFT矩阵的第$n$列$\mathbf{f}_n$，有：

$$\mathbf{C}\mathbf{f}_n = c(\omega_n)\mathbf{f}_n$$

其中$\omega_n = e^{-j2\pi n/N}$是第$n$个$N$次单位根。因此$\mathbf{f}_n$是特征向量，$c(\omega_n)$是对应特征值。

由于${\mathbf{f}_0, \mathbf{f}1, ..., \mathbf{f}{N-1}}$构成正交基，得：

$$\mathbf{C} = \sum_{n=0}^{N-1} c(\omega_n)\mathbf{f}_n\mathbf{f}_n^H = \mathbf{F}^H\text{diag}([c(\omega_0), ..., c(\omega_{N-1})])\mathbf{F}$$

而$[c(\omega0), ..., c(\omega{N-1})]^T = \mathbf{F}\mathbf{c}$正是第一列的DFT。

A.2 UP-OCDM变换矩阵循环性

定理A.2：当$N$为奇数时，UP-OCDM的变换矩阵$\boldsymbol{\Phi}$是循环矩阵。

证明：需要证明$\Phi(i,j)$只依赖于$(i-j) \bmod N$。

从定义出发：
$$\Phi(i,j) = e^{-j\pi(i-j)^2/N}$$

设$k = (i-j) \bmod N$，则存在整数$m$使得$i-j = k + mN$。代入：

$$\Phi(i,j) = e^{-j\pi(k+mN)^2/N} = e^{-j\pi k^2/N} \cdot e^{-j2\pi mk} \cdot e^{-j\pi m^2N}$$

由于$e^{-j2\pi mk} = 1$（$m,k$均为整数），且当$N$为奇数时$e^{-j\pi m^2N} = 1$，因此：

$$\Phi(i,j) = e^{-j\pi k^2/N} = \Phi(k)$$

这证明了$\boldsymbol{\Phi}$是循环矩阵。

附录B：带状矩阵LDL^H分解的计算复杂度分析

B.1 运算计数

对于带宽为$2Q+1$的$N \times N$带状厄米矩阵$\mathbf{R}$，LDL^H分解的运算包括：

第$k$步（$k=0,1,...,N-1$）：

1. 计算$vi = L{j,i}^*D_{i,i}$，$i \in [m,k-1]$：

   • 复数乘法（CM）：$\min(k,Q)$次
   • 无复数加法

2. 计算$vk = R{k,k} - \mathbf{L}{k,m:k-1}\mathbf{v}{m:k-1}$：

   • CM：$\min(k,Q)$次
   • 复数加法（CA）：$\min(k,Q)$次

3. 计算$\mathbf{L}{k+1:n,k} = (\mathbf{R}{k+1:n,k} - \mathbf{L}{k+1:n,m:k-1}\mathbf{v}{m:k-1})/v_k$：

   • 向量长度：$\min(N-k-1,Q)$
   • 矩阵-向量乘法：$\min(N-k-1,Q) \times \min(k,Q)$ CM和CA
   • 除法：$\min(N-k-1,Q)$次CM

B.2 总复杂度

忽略边界效应，假设$Q \ll N$：

• 总CM数：$\sum_{k=0}^{N-1}[2Q + Q^2] \approx (2Q + Q^2)N$
• 总CA数：$\sum_{k=0}^{N-1}[Q + Q^2] \approx (Q + Q^2)N$

转换为浮点运算数（1个CM = 6 flops，1个CA = 2 flops）：

$$\text{总flops} \approx 6(2Q + Q^2)N + 2(Q + Q^2)N = (14Q + 8Q^2)N$$

简化后得复杂度为$O(Q^2N)$，当$Q$固定时为$O(N)$。

附录C：LSQR算法的收敛性分析

C.1 条件数与收敛速度

LSQR的收敛速度由矩阵条件数决定。对于矩阵$\mathbf{C}$，第$i$次迭代的相对残差满足：

$$\frac{||\mathbf{r}_i||}{||\mathbf{r}_0||} \leq \left(\frac{\kappa - 1}{\kappa + 1}\right)^i$$

其中$\kappa = \text{cond}(\mathbf{C})$是条件数。

C.2 半收敛现象

在有噪声的情况下，LSQR表现出半收敛性：

• 初期：残差快速下降，解逐渐接近真实值
• 中期：达到最优点，误差最小
• 后期：继续迭代会放大噪声分量，误差反而增大

最优迭代次数$i_{opt}$与SNR相关：

$$i_{opt} \approx \frac{\log(\text{SNR})}{2\log(\frac{\kappa+1}{\kappa-1})}$$

C.3 预条件技术

通过预条件可以改善条件数。对于系统$\mathbf{C}\mathbf{d} = \mathbf{r}$，引入预条件矩阵$\mathbf{M}$：

$$\mathbf{M}^{-1}\mathbf{C}\mathbf{d} = \mathbf{M}^{-1}\mathbf{r}$$

理想的$\mathbf{M}$应满足：

1. $\text{cond}(\mathbf{M}^{-1}\mathbf{C}) \ll \text{cond}(\mathbf{C})$
2. $\mathbf{M}^{-1}\mathbf{v}$易于计算

对于UP-OCDM，可选择$\mathbf{M}$为$\mathbf{C}$的带状近似或不完全LU分解。