背包问题第一讲——01背包问题
背包问题是一类经典的组合优化问题,通常涉及在限定容量的背包中选择物品,以最大化某种价值或利益。问题的一般描述是:有一个背包,其容量为C;有一组物品,每个物品有重量w和价值v。目标是选择一些物品放入背包,使得它们的总重量不超过背包容量,同时总价值最大。
这个问题有两个主要变体:0/1背包问题和分数背包问题。
0/1 背包问题:
01背包问题是背包问题的的第一讲,也是动态规划问题的经典问题。在学习背包问题时首要学习的时01背包问题,其剩余的八讲背包都是在01背包的变体,从它这里延伸出来的,所以在学习背包问题时,01背包问题是基础之基础,务必要学会01背包问题。下面我们将对其进行介绍。
在01而背包这个问题中,我们想到的是01,为什么叫01,因为这个物品只有一个(特殊性),它所面临的选与不选,在选择这个物品时每个物品要么被选中就是'1',要么被忽略,不去选择它就是'0',不能部分选择。比如:我一个背包能装5kg,宝石2kg、价值2w,石头1kg、价值0w,翡翠6kg、100w,玛瑙3kg、5w,以上物品均只有一个。那么我的选择肯定是一块宝石一块玛瑙,这样背包恰好达到最终,价值也最大。这是一个离散问题,可以通过动态规划等方法求解。
分数背包问题:
在这个问题中,物品可以被部分选择,也就是可以选择物品的一部分。根据上面的例子,那么我们的理解就是可以切割,切割保证质量价值比,那么我们会选择切割6kg的翡翠,把它切割为5kg,这样得到的价值最大。这是一个连续问题,可以通过贪心算法等方法求解。
解决这些问题的方法包括动态规划、贪心算法、回溯法等。
接下来我将会给大家讲解背包九讲问题,分别为:01背包、多重背包、完全背包、混合背包、二位费用背包、分组背包、有依赖的背包、树形背包进行一一介绍,最后写一篇背包dp求方案数和具体方案的问题,并且介绍它们的优化解法,由于文章长度限制,编者将会分多篇文章进行编写。
01背包问题问题描述
一般的题目描述为有一个背包,其容量为C;有一组物品,每个物品有重量w和价值v。目标是选择一些物品放入背包,使得它们的总重量不超过背包容量,同时总价值最大,求出价值最大化。
一般解法:
下面代码为01背包问题的一般解法,采用的是二位数组f[i][j]来递归求解,注释在代码上,这个一般解法又可以成为暴力解法,主要就是遍历一遍物品数,遍历一遍背包容量,状态转移方程为f[i][j]=f[i-1][j](w[i]>j时),f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-w[i]]+v[i])(w[i]<=j时),当去选择是自然就面临着用背包容量去换价值,自然贪心的思想就是想要最小的背包容量去换取最大的价值,每一步选择的最优,必然导致结果的最优,也就是说局部的最优导致全局最优,这就是动态规划(DP)的思想。
#include<stdio.h> int f[100][100];//f[i][j]为在前i件物品中背包容量为j所选择最大化 int w[100],v[100];//w:物品重量,v:物品价值 int max(int x,int y){ return x>y?x:y; } int main(){ int i,j,n,m;//n为最大物品数,m为最大背包容量 scanf("%d%d",&n,&m); for(i=1;i<=n;i++){ scanf("%d%d",&w[i],&v[i]); } for(i=1;i<=n;i++){//i物品数,把所有物品遍历一遍,要么选要么不选 for(j=1;j<=m;j++){//j背包容量 if(w[i]>j){//第i个物品的重量大于此时背包容量j f[i][j]=f[i-1][j];//那就不选i }else{//如果小于背包容量就选 f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-w[i]]+v[i]); //在前i-1个物品基础上,面对第i个物品,你选了,那就要付出w[i]的代价,来换取价值为v[i] //如果你没选i号物品,那么你还有j背包容量供你选择i号物品前面的物品 //如果你选了i号物品,那么你的背包容量将减少w[i],剩余j-w[i]供你选择i号物品前面的物品 //因为是最优解问题,要寻找最大值,到底是选了i号物品价值更大还是不选i号物品价值更大 //这里并不是选了就大,比如第i个物品是个石头,i-1是个钻石,你选了石头,钻石就放不开了,此时不选i号物品最优 } } } printf("%d",f[n][m]); }
优化解法:
那么还有没有优化解法呢,答案是肯定有的,那就是空间上把f[i][j]优化成一维数组dp[i],也叫滚动数组,每滚动一次,dp[j]就会更新一遍,dp[i]只记录一行的数据,让j值逆序循环,更新dp[j]的值,因为j是逆序循环,dp[j]的值会优先于dp[j-v[i]]更新,也就是说用旧值dp[j-v[i]]去更新dp[j],相当于用上一行的dp[j-v[i]]更新dp[j],这里比较抽象,可以自己动手写一写理解一下,具体代码如下:
#include<iostream> using namespace std; int dp[205],w[35],v[35]; //dp[i]表示将物品放入背包容量为i的背包中最大价值 int n,m; int main(){ cin>>m>>n; for(int i=1;i<=n;i++){ cin>>v[i]>>w[i]; } for(int i=1;i<=n;i++){ for(int j=m;j>=v[i];j--){//这边把背包容量控制在大于v[i],防止再出现if判断背包容量与重量的关系 dp[j]=max(dp[j],dp[j-v[i]]+w[i]); } } cout<<dp[m]<<endl; return 0; }
具体视频讲解B站董晓老师讲的很好可以看一下:E08【模板】背包DP 01背包_哔哩哔哩_bilibili
对于01背包问题,编者把自己的想法分享给大家,望对大家有帮助,由于本人水平有限,一些地方可能说不清楚或者错误的地方,望各位大佬指出共同进步,执笔至此,感触彼多,全文将至,落笔为终,感谢大家的支持。下一篇更新多重背包问题。