输出一个整数，表示最大价值。
01背包
有 N 件物品和一个容量是 V 的背包。每件物品只能使用一次。
第 i件物品的体积是 vi，价值是 wi。
求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。
输入格式
第一行两个整数，N，V用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。
接下来有 N 行，每行两个整数 vi,wi用空格隔开，分别表示第 i 件物品的体积和价值。
输出格式
数据范围
0<N,V≤1000
0<vi,wi≤1000
输入样例
1. 4 5 2. 1 2 3. 2 4 4. 3 4 5. 4 5
输出样例：
8
思路：每个物体只有一个，所以状态有选或者不选两种，二维的dp[i][j]意思是选前i个物体空间为j的最大值。最大值就是dp[i][ ]中最大的一个，这样可以得出状态转移方程：
dp[i][j]=dp[i-1][j]; if(j>=a[i]) dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][j-a[i]]+s[i]);
二维完整代码：
#include <iostream> using namespace std; const int N=1010; int a[N],s[N],res; int dp[N][N]; int main(){ int n,m; cin>>n>>m; for(int i=1;i<=n;i++){ cin>>a[i]>>s[i]; } for(int i=1;i<=n;i++){ for(int j=1;j<=m;j++){ dp[i][j]=dp[i-1][j]; if(j>=a[i]) dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][j-a[i]]+s[i]); } } for(int i=1;i<=m;i++)res=max(res,dp[n][i]); cout<<res; }
优化后一维代码：
#include <iostream> using namespace std; const int N=1010; int a[N],s[N]; int dp[N]; int main(){ int n,m; cin>>n>>m; for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i]>>s[i]; for(int i=1;i<=n;i++){ for(int j=m;j>=a[i];j--) dp[j]=max(dp[j],dp[j-a[i]]+s[i]); } cout<<dp[m]; }
完全背包
有 N 种物品和一个容量是 V 的背包，每种物品都有无限件可用。
第 i 种物品的体积是 vi，价值是 wi。
求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。
输入格式
第一行两个整数，N，V用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。
接下来有 N 行，每行两个整数 vi,wi用空格隔开，分别表示第 i种物品的体积和价值。
输出格式
输出一个整数，表示最大价值。
数据范围
0<N,V≤1000
0<vi,wi≤1000
输入样例
4 5
1 2
2 4
3 4
4 5
输出样例：
10
思路：完全背包区别不同在于物体个数无限多，所以状态转移方程：
dp[i][j]=dp[i-1][j]; if(j>=a[i])dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i][j-a[i]]+s[i]);
这里完全背包和01背包代码的区别在于 dp[i][j-a[i]]和dp[i-1][j-a[i]]，结合dp的真实意义即选前i个物体空间为j的最大值，01背包因为物体拿完之后不能再拿所以是i-1，完全背包有无数个物体所以拿完后还是i
二维完整代码：
#include <iostream> using namespace std; const int N=1010; int a[N],s[N],dp[N][N],res; int main(){ int n,m; cin>>n>>m; for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i]>>s[i]; for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=m;j++) { dp[i][j]=dp[i-1][j]; if(j>=a[i])dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i][j-a[i]]+s[i]); } for(int i=1;i<=m;i++)res=max(res,dp[n][i]); cout<<res; }
优化后一维代码：
#include <iostream> using namespace std; const int N=1010; int a[N],s[N]; int dp[N]; int main(){ int n,m; cin>>n>>m; for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i]>>s[i]; for(int i=1;i<=n;i++){ for(int j=a[i];j<=m;j++) dp[j]=max(dp[j],dp[j-a[i]]+s[i]); } cout<<dp[m]; }
