1 理论
以TE波为例进行探讨波导模式的本征方程，由于E(x,y)仅含Ey分量，其波动方程简化为
（1）波导层波动方程
$$\frac{\partial^2 E_y(x,y)}{\partial x^2} + (k_0^2n_1^2 - \beta^2)E_y(x,y) = 0 \quad (-d \leq x \leq 0)$$
（2）衬底层波动方程
$$\frac{\partial^2 E_y(x,y)}{\partial x^2} + (k_0^2n_2^2 - \beta^2)E_y(x,y) = 0 \quad (x < -d)$$
（3）覆盖层波导方程
$$\frac{\partial^2 E_y(x,y)}{\partial x^2} + (k_0^2n_3^2 - \beta^2)E_y(x,y) = 0 \quad (x \geq 0)$$
$$满足波导条件 k_0n_2 < \beta < k_0n_1 及边界连续条件 (x=0 及 x=-d 处 E_y, \frac{\partial E_x}{\partial x} 连续) 的场表达式为$$
$$E_y(x) = \begin{cases} Ae^{-qx} & x > 0 \\ A[\cosh x - (\frac{q}{h})\sinh x] & -d \leq x \leq 0 \\ e^{(x+d)} A [\cosh d + (\frac{q}{h})\sinh d] & x \leq -d \end{cases} $$
$$其中，h = \sqrt{k_0^2n_1^2 - \beta^2}, \; q = \sqrt{\beta^2 - k_0^2n_2^2}, \; p = \sqrt{\beta^2 - k_0^2n_3^2}$$
2 Matlab 实现
实现以上公式的不同条件下的模式场分布
对于公式中的A、q、h、p全部设置为常数，可以通过改变d值的大小，改变曲线的形状
clc
clear all
% 公共参数
A =2;
q = 1;
h = 1;
p =1;
% 第一条曲线
d0 = 5;
x10 = [0:0.1:10];
x11 = [-d0:0.1:0];
x12 = [-20:0.1:-d0];
y10 = A*exp(-q.*x10);
y11 = A*(cos(h.*x11)-(q/h).*sin(h.*x11));
y12 = A*exp(p.*(x12+d0)).*(cos(h*d0)+(q/h)*sin(h*d0));
axis([-20,20,-20,10])
% 第二条曲线
% 在y后面+4只是为了让曲线平移，不改变曲线形状
d1 = 1;
x20 = [0:0.1:10];
x21 = [-d1:0.1:0];
x22 = [-20:0.1:-d1];
y20 = A*exp(-q.*x20)+4;
y21 = A*(cos(h.*x21)-(q/h).*sin(h.*x21))+4;
y22 = A*exp(p.*(x22+d1)).*(cos(h*d1)+(q/h)*sin(h*d1))+4
axis([-20,20,-20,10])
% 第三条曲线
d2 = 8;
x30 = [0:0.1:10];
x31 = [-d2:0.1:0];
x32 = [-20:0.1:-d2];
y30 = A*exp(-q.*x30)+8;
y31 = A*(cos(h.*x31)-(q/h).*sin(h.*x31))+8;
y32 = A*exp(p.*(x32+d2)).*(cos(h*d2)+(q/h)*sin(h*d2))+8
axis([-20,20,-20,10])
plot(y10,x10,'r',y11,x11,'r',y12,x12,'r',y20,x20,'b',y21,x21,'b',y22,x22,'b',y30,x30,'g',y31,x31,'g',y32,x32,'g');
由图可见，波导中的电磁场主要集中于芯区，但并非封闭于芯区，在衬底与覆盖层中也有电磁场
存在。它紧贴着导波区，并沿其外法线方向场指数衰减
