一，快速排序
快速排序是一种比较复杂的排序算法，它总共有4种实现方式，分别是挖坑法，左右"指针"法，前后"指针"法，以及非递归的快速排序 (本文只讲述递归实现，非递归实现以后有专门的文章) ，并且这些算法中也会涉及多种优化措施，比如三数取中，小区间优化，下面都会一一介绍。
由于它效率极高的缘故，快速排序也是日常开发中使用最多的，最重要的排序算法。
1. 挖坑法
1.1 基本思想：
任取待排序元素序列中的某元素(一般选最左边或最右边的元素)作为基准值(也叫做 key 关键字)，按照该排序码将待排序集合分割成两子序列，左子序列中所有元素均小于基准值，右子序列中所有元素均大于基准值，然后左右子序列重复该过程，直到所有元素都排列在相应位置上为止。
1.2 一趟排序图解如下：
给定一无序数组，选第一个元素为关键字 key = 6
我们选定关键字 key = 6后，就说明6的位置就可以被覆盖了，所以我们就说左边形成了一个****坑，用pivot 表示。
左边有坑，右边的 end 要从最后一个元素开始找比 key 小的数，找到后放到左边的坑里，所以5放进了坑中
5被拿走之后，右边它原来所在的位置就形成了一个新坑，此时，左边的 begin 要开始找比 key 大的数，找到后放到右边的坑里，所以7放进了坑中
7被拿走后，左边又形成了一个新坑，此时，end 又要开始找比 key 小的数放到左边的坑里，所以4放进了坑中
此时，右边又形成了新坑，begin 要开始找比 key 大的数，找到后放到右边的坑里，所以9放进了坑中
左边又形成了坑，右边 end 开始找，找到了3，放入坑中
最后一次 begin++ 后，begin 和 end 重叠了，并且它们一定相遇在坑中，此时，把 key 放入坑中即可。
上述操作只是第一趟排序，只排好了一个数，此时第一个基准 key = 6已经在它合适的位置上了(排好序后的位置)，后面对左右子序列排序时6不动。并且已经把数组分成了两个子序列，以 key 为基准，左边的元素都比它小，右边的元素都比它大。
1.3 单趟排序的代码实现如下：
注意：第二个和第三个 while 中的 begin < end 不能缺少，要防止在找大和找小的时候 begin 和 end 错开或是在极端情况下(比如已经升序时)end一直减导致越界。
int PartSort1(int* arr, int sz) { int begin = 0; int end = sz -1; int key = arr[begin]; int pivot = begin; //这是排一趟，只排好了一个数 while (begin < end) { //左边有坑，右边end找比key小的 while (begin < end && arr[end] > key) { end--; } //小的放到了左边的坑里，右边end自己形成了新的坑 arr[pivot] = arr[end]; pivot = end; //右边有坑，左边end找比key大的 while (begin < end && arr[begin] < key) { begin++; } //大的放到右边的坑里，左边begin自己形成新的坑 arr[pivot] = arr[begin]; pivot = begin; } //最后begin和end相遇了，把key放入该位置 pivot = begin; arr[begin] = key; }
1.4 整体排序
要利用分治递归思想。第一趟排序把整个数组分割成了左子序列和右子序列，如果左右子序列都有序了，那么整个数组就有序了，所以再递归使用前面的挖坑算法，再找出关键字，再把左右子序列分割成子序列…… 直到关键字的左右两边只有一个数据不可再递归，或者是关键字的左序列，右序列都是有序，那么整体就有序了。
如图所示：
1.5 整体排序过程代码实现如下：
注意：因为是左右子序列，所以要控制一个区间。
void QuickySort(int* arr, int left,int right) { //当左右子区间不存在，或只有一个元素时， //就不需要递归了，排序完成 if (left >= right) { return; } int begin = left; int end = right; int key = arr[begin]; int pivot = begin; //这是排一趟，只排好了一个数 while (begin < end) { //左边有坑，右边end找比key小的 while (begin < end && arr[end] > key) { end--; } //小的放到了左边的坑里，右边end自己形成了新的坑 arr[pivot] = arr[end]; pivot = end; //右边有坑，左边end找比key大的 while (begin < end && arr[begin] < key) { begin++; } //大的放到右边的坑里，左边begin自己形成新的坑 arr[pivot] = arr[begin]; pivot = begin; } //最后begin和end相遇了，把key放入该位置 pivot = begin; arr[begin] = key; //[left] pivot [right] // [left pivot-1] pivot [pivot+1 right] //左子区间和右子区间有序，整体就有序了 QuickySort(arr, left, pivot-1); QuickySort(arr, pivot+1, right); }
2. 快速排序的优化
2.1 三数取中
上文快排的算法思想有一个致命的缺陷：那就是当数据为有序时，其时间复杂度为O(N*N)。
原因：这是因为在取关键字 key 的值时，一直都是选最左边(或最右边)的数据。当数组本为升序时，每次关键字的右子序列的值都比它大，再次递归调用时，右子序列的子序列也是如此(降序同理)。
所以这个缺陷的原因就是 key 的取值。
那该如何取 key的值呢？一个比较好的方法是三数取中。
三数取中：并不是指取所有数据中间的那数，而是指在三个数中取那个不大不小的中间数，这个数可能在最左边，也可能在最右边。
通过这种类似随机选数的方法，就能保证一定不是数据中最大或最小的值做 key。
2.1.1 三数取中的代码的实现：
//三数取中 int GetMidIndex(int* arr, int left, int right) { //右移有除2的效果 int mid = (left + right) >> 1; if (arr[mid] > arr[left]) { if (arr[mid] < arr[right]) { return mid; } else if(arr[left] > arr[right]) { return left; } else { return right; } } else //arr[mid] < arr[left] { if (arr[mid] > arr[right]) { return mid; } else if (arr[left] < arr[right]) { return left; } else { return right; } } }
但是挖坑算法中我们习惯拿 begin 作为 key ，为了保持挖坑算法不被改变，我们把 begin 指向的值和通过三数取中选出的数的指向的值进行交换，确保 key 仍是begin指向的值。
代码实现为：
void Swap(int* p1, int* p2) { int tmp = *p1; *p1 = *p2; *p2 = tmp; } void QuickySort(int* arr, int left,int right) { //当左右子区间不存在，或只有一个元素时， //就不需要递归了，排序完成 if (left >= right) { return; } int begin = left; int end = right; int index = GetMidIndex(arr, left, right); Swap(&arr[index], &arr[left]);//交换一下，保证key还是最左边的数 int key = arr[begin]; int pivot = begin; //这是排一趟，只排好了一个数 while (begin < end) { //左边有坑，右边end找比key小的 while (begin < end && arr[end] > key) { end--; } //小的放到了左边的坑里，右边end自己形成了新的坑 arr[pivot] = arr[end]; pivot = end; //右边有坑，左边end找比key大的 while (begin < end && arr[begin] < key) { begin++; } //大的放到右边的坑里，左边begin自己形成新的坑 arr[pivot] = arr[begin]; pivot = begin; } //最后begin和end相遇了，把key放入该位置 pivot = begin; arr[begin] = key; // [left] pivot [right] // [left pivot-1] pivot [pivot+1 right] // 左子区间和右子区间有序，整体就有序了 QuickySort(arr, left, pivot-1); QuickySort(arr, pivot+1, right); }
2.2 小区间优化
我们知道在函数调用的过程中会在内存中建立栈帧，栈帧的建立也是需要时间和空间的。假设用上述代码排100W个数据，则大致有20层的递归调用，但是在最后几层中就大概调用了80多万次函数，它占用了栈帧的绝大多数空间和时间。
那么有人就会想，能不能把最后几层的函数递归调用消除呢？
官方给出的一种方法是小区间优化法，用于减少递归调用次数。
就是在排序的过程中当左右子序列中的数据个数大于某个数量时，不进行递归了，而是选用其他排序算法进行排序。这里一般用插入排序。
2.2.1 小区间优化的代码实现：
(注意：插入排序的算法这里没有给出，想要了解的请前往我的主页。)
//小区间优化法:减少递归调用次数 // keyindex - 1 - left 指子序列中的元素个数 // > 10是我们控制的一个界限 if (keyindex - 1 - left > 10) { QuickySort(arr, left, keyindex - 1); } else { // arr + left 是指这时的子序列不一定从第一个元素开始 //keyindex - 1 - left + 1 是指元素的个数 InsertSort(arr + left, keyindex - 1 - left + 1); } if (right - (keyindex + 1) > 10) { QuickySort(arr, keyindex + 1, right); } else { InsertSort(arr + keyindex + 1, right - (keyindex + 1) + 1); }
但是由于小区间优化所带来的效率提升并不显著，而且它是与我们所控制的那个界限有关，所以平时并没有过于注重这个优化。
3.挖坑法的完整排序代码
void Swap(int* p1, int* p2) { int tmp = *p1; *p1 = *p2; *p2 = tmp; } //三数取中 int GetMidIndex(int* arr, int left, int right) { //右移有除2的效果 int mid = (left + right) >> 1; if (arr[mid] > arr[left]) { if (arr[mid] < arr[right]) { return mid; } else if(arr[left]>arr[right]) { return left; } else { return right; } } else //arr[mid] < arr[left] { if (arr[mid] > arr[right]) { return mid; } else if (arr[left] < arr[right]) { return left; } else { return right; } } } //挖坑法 int PartSort1(int* arr, int left, int right) { int index = GetMidIndex(arr, left, right); Swap(&arr[index], &arr[left]);//交换一下，保证key还是最左边的数 int begin = left; int end = right; int key = arr[begin]; int pivot = begin; //这是排一趟，只排好了一个数 while (begin < end) { //左边有坑，右边end找比key小的 while (begin < end && arr[end] > key) { end--; } //小的放到了左边的坑里，右边end自己形成了新的坑 arr[pivot] = arr[end]; pivot = end; //右边有坑，左边end找比key大的 while (begin < end && arr[begin] < key) { begin++; } //大的放到右边的坑里，左边begin自己形成新的坑 arr[pivot] = arr[begin]; pivot = begin; } //最后begin和end相遇了，把key放入该位置 pivot = begin; arr[begin] = key; return key; } void QuickySort(int* arr, int left,int right) { //当左右子区间不存在，或只有一个元素时， //就不需要递归了，排序完成 if (left >= right) { return; } int keyindex = PartSort1(arr, left, right); // [left] keyindex [right] // [left keyindex -1] keyindex [keyindex +1 right] // 左子区间和右子区间有序，整体就有序了 QuickySort(arr, left, keyindex - 1); QuickySort(arr, keyindex + 1, right); //或是 /*if (keyindex - 1 - left > 10) { QuickySort(arr, left, keyindex - 1); } else { // arr + left 是指这时的子序列不一定从第一个元素开始 //keyindex - 1 - left + 1 是指元素的个数 InsertSort(arr + left, keyindex - 1 - left + 1); } if (right - (keyindex + 1) > 10) { QuickySort(arr, keyindex + 1, right); } else { InsertSort(arr + keyindex + 1, right - (keyindex + 1) + 1); }*/
排序结果为：
3.1 时间复杂度与稳定性
挖坑法的时间复杂度是O(N*logN),是不稳定的排序。
3. Hoare法
3.1 算法思想：
与挖坑法类似，一般也要用三数取中法选一个关键字做 key，最终也是把整个数组分割成左右两个子序列，左子序列中所有元素均小于基准值，右子序列中所有元素均大于基准值。
只是实现的方式不同，左右"指针"法是分别从数组的最左边和最右边开始找数，左边的 begin 找比 key大的数，右边的 end 找比 key 小的数，找到后把这两个位置上的数交换，直到分割成左右两个子序列，然后左右子序列重复该过程，直到所有元素都排列在相应位置上为止。
3.2 单趟排序的图解如下：
给定一无序数组，选第一个元素为关键字 keyi = 6，这里的keyi是数组的下标
begin++ 找比 keyi 大的数，end – 找比 keyi 小的数，找到后停下来交换
重复上述操作
最后当 begin 和 end 相遇时，把相遇位置上的数与关键字 keyi所在位置的数交换：
有人可能会想，为什么相遇位置的数据一定比keyi位置的数据小呢？
答案：这是右边先走保证的。
最终排完第一趟后，以 keyi所指向的数6为基准，左边的元素都比它小，右边的元素都比它大。
递归图解如下：
3.3 单趟排序的代码实现：
注意：
1.代码中的三数取中函数与交换函数在上文，此处就直接调用
2.第二个和第三个while中的 begin < end 和 <= 中的等于号二者缺一不可。
int PartSort2(int* arr, int left, int right) { int index = GetMidIndex(arr, left, right); Swap(&arr[index], &arr[left]);//交换一下，保证key还是最左边的数 int begin = left; int end = right; int keyi = begin;//第一个元素的下标 while (begin < end) { //找比key小的 while (begin < end && arr[keyi] <= arr[end]) { end--; } //找比key大的 while (begin < end && arr[keyi] >= arr[begin]) { begin++; } Swap(&arr[begin], &arr[end]); } //当begin与end相遇时 Swap(&arr[begin], &arr[keyi]); return begin; }
4. 前后"指针"法
4.1 算法思想
与挖坑法类似，一般也要用三数取中法选一个关键字做 key，最终也是把整个数组分割成左右两个子序列，左子序列中所有元素均小于基准值，右子序列中所有元素均大于基准值。
只是实现方式不同，前后"指针"法是要定义两个前后变量( cur 和 prev，其中 cur 在前，prev 在后)分别指向数组的前两个元素，前面的 cur 先往前走，prev 后走，cur 找到比key 小的值，每次找到就停下来，prev++，再交换 prev 和 cur 所在位置的值。
直到分割成左右两个子序列，然后左右子序列重复该过程，直到所有元素都排列在相应位置上为止
4.2 单趟排序的部分图解如下：
给定一无序数组，选第一个元素为关键字 keyi = 6，这里的keyi是数组的下标
前几个数 cur 和 prev 重叠，省略图解
当cur在3的位置上时，prev指向7，此时，交换两数
再cur++指向了4，停下，prev++指向了9，此时再交换
………………(重复上述操作)
当cur超出数组界限时，把此时 prev 所指向的值和 keyi 所指向的关键字交换，最终的结果是：
最终排完第一趟后，以 keyi所指向的数6为基准，左边的元素都比它小，右边的元素都比它大。
4.3 单趟排序的代码实现如下：
//前后指针法 int PartSort3(int* arr, int left, int right) { int index = GetMidIndex(arr, left, right); Swap(&arr[index], &arr[left]);//交换一下，保证key还是最左边的数 int keyi = left; int prev = left; int cur = left + 1; while (cur <= right) { //if (arr[cur] < arr[keyi]) //++prev后如果跟cur相等就不交换 if (arr[cur] < arr[keyi] && ++prev != cur) { //prev++; Swap(&arr[cur], &arr[prev]); } cur++; } Swap(&arr[keyi], &arr[prev]); return prev; }
4.4 代码的小优化
通过上面的图解可知，当 cur 和 prev 重叠时，我们也进行了交换，但是这种自己和自己的交换其实是多于的。
优化代码如下：
在if判断条件中多了++prev != cur
int PartSort3(int* arr, int left, int right) { int index = GetMidIndex(arr, left, right); Swap(&arr[index], &arr[left]);//交换一下，保证key还是最左边的数 int keyi = left; int prev = left; int cur = left + 1; while (cur <= right) { //++prev != cur是指当cur和prev重合时不用多于的交换 if (arr[cur] < arr[keyi]&& ++prev != cur) { Swap(&arr[cur], &arr[prev]); } cur++; } Swap(&arr[keyi], &arr[prev]); return prev; }
二，快速排序总结：
- 快速排序的三种思想虽然实现方式不同，但是最终结果都是以key为基准值把整个数组分割成左右两个子序列，左子序列中所有元素均小于基准值，右子序列中所有元素均大于基准值。
- 在我们日常写快速排序算法时，那两种优化方式三数取中，最小区间优化并不是一定要有，可以根据情况自主添加。
1.比如没有优化的Hoare法的代码实现：
void QuickSort(int* arr, int left, int right) { //区间只有一个值或者不存在就结束 if (left >= right) return; int begin = left; int end = right; int keyi = left;//基准位置 while (left < right) { //右边找小 while (left < right && arr[right] >= arr[keyi]) { right--; } //左边找大 while (left < right && arr[left] <= arr[keyi]) { left++; } Swap(&arr[left], &arr[right]); } Swap(&arr[left], &arr[keyi]); keyi = left; //[begin,keyi-1] keyi [keyi+1,end] QuickSort(arr, begin, keyi - 1); QuickSort(arr, keyi + 1, end); }
2.比如没有优化的前后"指针"法的代码实现：
void QuickySort(int* arr, int left,int right) { //当左右子区间不存在，或只有一个元素时， //就不需要递归了，排序完成 if (left >= right) { return; } int keyi = left; int prev = left; int cur = left + 1; while (cur <= right) { //++prev != cur是指当cur和prev重合时不用多于的交换 if (arr[cur] < arr[keyi]&& ++prev != cur) { Swap(&arr[cur], &arr[prev]); } cur++; } Swap(&arr[keyi], &arr[prev]); keyi = prev; // [left keyi -1] keyi [keyi +1 right] QuickySort(arr, left, keyi-1); QuickySort(arr, keyi+1, right); }
3.比如没有优化的挖坑法的代码实现：
void QuickySort(int* arr, int left,int right) { //当左右子区间不存在，或只有一个元素时， //就不需要递归了，排序完成 if (left >= right) { return; } int begin = left; int end = right; int key = arr[begin]; int pivot = begin; //这是排一趟，只排好了一个数 while (begin < end) { //左边有坑，右边end找比key小的 while (begin < end && arr[end] > key) { end--; } //小的放到了左边的坑里，右边end自己形成了新的坑 arr[pivot] = arr[end]; pivot = end; //右边有坑，左边end找比key大的 while (begin < end && arr[begin] < key) { begin++; } //大的放到右边的坑里，左边begin自己形成新的坑 arr[pivot] = arr[begin]; pivot = begin; } //最后begin和end相遇了，把key放入该位置 pivot = begin; arr[begin] = key; //[left] pivot [right] // [left pivot-1] pivot [pivot+1 right] //左子区间和右子区间有序，整体就有序了 QuickySort(arr, left, pivot-1); QuickySort(arr, pivot+1, right); }
4.复杂度和稳定性的分析
1.最坏：有序或接近有序时，时间复杂度为O(N^2) 数据为随机值时，时间复杂度为O(N*logN)。
2.空间复杂度：由于递归要建立栈帧，O(logN)。
2.快速排序算法是不稳定的。
三，冒泡排序
1.基本思想：
从序列的一端开始往另一端冒泡，依次比较相邻的两个数的大小。
设数组长度为N。
1.每轮比较相邻的前后两个数据，如果前面数据大于(或者小于)后面的数据，就将这两个个数据交换。
2.这样每轮对数组的第0个数据到N-1个数据进行一次遍历后，最大或者最小的一个数据就到数组第N-1个位置。
3.第一轮比较到下标为N-1的数据（最后一个），以后每次比较都-1。
2.图解冒泡排序：
以 [ 8，2，5，9，7 ] 这组数字来做示例：
从左往右依次冒泡，将小的往右移动(排降序)
第一轮冒泡：
首先比较第一个数和第二个数的大小，我们发现 2 比 8 要小，那么保持原位，不做改动。位置还是 8，2，5，9，7 。指针往右移动一格，接着比较：
比较第二个数和第三个数的大小，发现 2 比 5 要小，所以位置交换，交换后数组更新为：[ 8，5，2，9，7 ]。
指针再往右移动一格，继续比较：
比较第三个数和第四个数的大小，发现 2 比 9 要小，所以位置交换，交换后数组更新为：[ 8，5，9，2，7 ]。同样，指针再往右移动，继续比较：
比较第 4 个数和第 5 个数的大小，发现 2 比 7 要小，所以位置交换，交换后数组更新为：[ 8，5，9，7，2 ]。
下一步，指针再往右移动，发现已经到底了，则本轮冒泡结束，处于最右边的 2 就是已经排好序的数字。
通过这一轮不断的对比交换，数组中最小的数字移动到了最右边。
重复上述步骤，得到的最终结果是：
3.代码实现冒泡排序如下：
void Swap(int* p1, int* p2) { int tmp = *p1; *p1 = *p2; *p2 = tmp; } void BubbleSort(int* arr, int sz) { for (int j = 0; j < sz; j++) { //一趟排序 for (int i = 1; i < sz-j; i++) { if (arr[i - 1] < arr[i]) { //前一个比后一个小，就交换 Swap(&arr[i - 1], &arr[i]); } } } }
4.冒泡排序的小优化：
假设我们要排降序，如果数组此时就是降序，那么在第一轮比较过后数据并没有发生交换，那就不要再进行多于的后续比较了，直接跳出循环即可。
void BubbleSort(int* arr, int sz) { for (int j = 0; j < sz; j++) { int exchange = 0;//默认是有序的 //一趟排序 for (int i = 1; i < sz-j; i++) { if (arr[i - 1] > arr[i]) { //前一个比后一个大，就交换 Swap(&arr[i - 1], &arr[i]); //如果不是有序的就发生了交换，exchange=1 exchange = 1; } } //如果一趟比较过后发现是有序的，就直接跳出循环 if (exchange == 0) { break; } } }
5.时间复杂度和稳定性的分析
最好：就是顺序时，时间复杂度为O(N)
乱序时：时间复杂度为O(N*N)
所以冒泡排序的时间复杂度是O(N*N)。
冒泡排序算法是稳定的。
