动态规划Dynamic programming详解-背包问题【python】

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动态规划是一种在数学、管理科学、计算机科学、经济学和生物信息学等领域中极为重要的算法策略。它通过把复杂问题分解为简单子问题，以递推的方式逐步求解，大幅度提高了问题解决的效率。以下是对动态规划算法的详细介绍，包括其核心概念、步骤、以及通过具体例子来说明其应用。

1. 动态规划的核心概念

动态规划（Dynamic Programming, DP）是通过将复杂问题拆解成更小的子问题，并存储这些子问题的解（通常是在一个数组或矩阵中），从而避免重复计算，加快整体的计算速度。

关键特征：

• 最优子结构：一个问题的最优解包含其子问题的最优解。
• 重叠子问题：在求解过程中，很多子问题会被重复计算多次。
• 状态转移方程：每个状态都是前一个状态的函数，通过这些函数我们可以逐步求解出最终问题的答案。

2. 动态规划的基本步骤

步骤 1: 定义状态

首先定义“状态”，即原问题和子问题中会变化的部分。在大多数情况下，状态是一个或多个变量的函数。

步骤 2: 建立状态转移方程

状态转移方程是动态规划的核心，用于描述问题的递推关系。每个状态都是通过一个或多个前置状态计算得到。

公式

这意味着，如果当前背包的容量 w 足够装下第 i 件物品，我们将在不装这件物品和装了这件物品两种情况下取最大值；如果装不下，我们就保持装前 i-1 件物品时的最大价值。

步骤 3: 设定初始条件

根据问题的边界条件，确定状态数组的初值。对于一些问题，可能需要初始化多个状态值。

步骤 4: 执行状态填表

按照逻辑顺序，逐步填写状态表格。这个过程可以是自顶向下（带备忘的递归解法），也可以是自底向上（迭代解法）。

步骤 5: 构造最优解

根据填好的状态表格，构造问题的最优解。对于路径类问题，这可能还包括回溯状态表格。

3. 示例：0-1 背包问题

问题背景

0-1背包问题源于一个简单的概念：假设你是一个盗贼，打算抢劫一家商店。你有一个背包，它只能承载一定重量的物品。商店中有多种商品，每种商品都有一定的重量和价值。你的目标是在不超过背包承载重量的前提下，使背包中的物品总价值最大。

问题定义

• 输入：

• 整数 W，表示背包的最大承载能力。
• 列表 weights，其中 weights[i] 表示第 i+1 个物品的重量。
• 列表 values，其中 values[i] 表示第 i+1 个物品的价值。
• 整数 n，表示物品的总数。

• 输出：

• 背包能够承载的最大价值。

核心概念

• 状态表示：dp[i][w] 表示考虑前 i 个物品，当背包容量为 w 时的最大价值。
• 状态转移：

• 如果不选择第 i 个物品，则价值保持不变：dp[i][w] = dp[i-1][w]
• 如果选择第 i 个物品（前提是这个物品可以装入背包），则价值为装入该物品前的最大价值加上该物品的价值：dp[i][w] = dp[i-1][w-weights[i-1]] + values[i-1]
• 选择两者中的最大值：dp[i][w] = max(dp[i-1][w], dp[i-1][w-weights[i-1]] + values[i-1] if w >= weights[i-1])

边界条件

• dp[0][w] = 0 对所有 w，因为没有物品时最大价值为0。
• dp[i][0] = 0 对所有 i，因为容量为0时无法装入任何物品。

实际示例

假设有一个背包可以承载重量为50的物品，现有三件物品，具体信息如下：

解题过程

1. 初始化动态规划表 dp。表格的大小为 (物品数量+1) x (背包容量+1)，即 4 x 51。
   
2. 填表过程：
   
3. 根据表格，最终得出最大价值为 dp[3][50] = 220。
   

1. dp[0][...] 是初始化为0的，因为没有物品时背包的价值自然也是0。
2. dp[1][10] 到 dp[1][50] 是60，因为只考虑物品1时，只要背包容量至少为10，我们就能装下物品1，其价值为60。
3. dp[2][20] 是100，因为如果我们只考虑物品1和2，并且背包容量至少为20，我们会选择物品2，因为它的价值（100）比物品1（60）更高。
4. 当我们在 dp[2][...] 的基础上添加物品3考虑，如果背包容量是30，我们只能选择物品3（价值120），因为它的价值比物品1和2的组合更高。
5. dp[3][50] 是220，这是因为在背包容量为50时，我们可以装下物品2和物品3（20 + 30 = 50），它们的价值总和（100 + 120 = 220）是这个容量下可能的最高价值。

代码实现

def knapsack(W, weights, values, n):
    dp = [[0 for x in range(W + 1)] for y in range(n + 1)]
    for i in range(1, n + 1):
        for w in range(1, W + 1):
            if w >= weights[i - 1]:
                dp[i][w] = max(dp[i - 1][w], dp[i - 1][w - weights[i - 1]] + values[i - 1])
            else:
                dp[i][w] = dp[i - 1][w]
    return dp[n][W]
 
# Test the function with the example data
weights = [10, 20, 30]
values = [60, 100, 120]
W = 50
n = len(weights)
print("The maximum value the knapsack can hold is:", knapsack(W, weights, values, n))

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