R语言RStan贝叶斯示例:重复试验模型和种群竞争模型Lotka Volterra

简介: R语言RStan贝叶斯示例:重复试验模型和种群竞争模型Lotka Volterra

原文链接:http://tecdat.cn/?p=19737


Stan是一种用于指定统计模型的概率编程语言。Stan通过马尔可夫链蒙特卡罗方法(例如No-U-Turn采样器,一种汉密尔顿蒙特卡洛采样的自适应形式)为连续变量模型提供了完整的贝叶斯推断


可以通过R使用rstan 包来调用Stan,也可以 通过Python使用 pystan 包。这两个接口都支持基于采样和基于优化的推断,并带有诊断和后验分析。

在本文中,简要展示了Stan的主要特性。还显示了两个示例:第一个示例与简单的伯努利模型相关,第二个示例与基于常微分方程的Lotka-Volterra模型有关。


什么是Stan?


  • Stan是命令式概率编程语言。

  • Stan程序定义了概率模型。

  • 它声明数据和(受约束的)参数变量。

  • 它定义了对数后验。

  • Stan推理:使模型拟合数据并做出预测。

  • 它可以使用马尔可夫链蒙特卡罗(MCMC)进行完整的贝叶斯推断。

  • 使用变分贝叶斯(VB)进行近似贝叶斯推断。

  • 最大似然估计(MLE)用于惩罚最大似然估计。


Stan计算什么?


  • 得出后验分布

  • MCMC采样。

  • 绘制 ,其中每个绘制 都按后验概率 的边缘分布。

  • 使用直方图,核密度估计等进行绘图

点击标题查阅往期内容


MCMC的rstan贝叶斯回归模型和标准线性回归模型比较


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03

04


安装 rstan


要在R中运行Stan,必须安装 rstan C ++编译器。在Windows上, Rtools 是必需的。

最后,安装 rstan

install.packages(rstan)


Stan中的基本语法


定义模型


Stan模型由六个程序块定义 :


  • 数据(_必填_)。

  • 转换后的数据。
  • 参数(_必填_)。

  • 转换后的参数。

  • 模型(_必填_)。

  • 生成的数量。

数据块读出的外部信息。

data {
  int N;
  int x\[N\];
  int offset;
}

变换后的数据 块允许数据的预处理。

transformed data {
  int y\[N\];
  for (n in 1:N)
    y\[n\] = x\[n\] - offset;
}

参数 块定义了采样的空间。

parameters {
  real<lower=0> lambda1;
  real<lower=0> lambda2;
}

变换参数 块定义计算后验之前的参数处理。

transformed parameters {
  real<lower=0> lambda;
  lambda = lambda1 + lambda2;
}

模型 块中,我们定义后验分布。

model {
  y ~ poisson(lambda);
  lambda1 ~ cauchy(0, 2.5);
  lambda2 ~ cauchy(0, 2.5);
}

最后, 生成的数量 块允许进行后处理。

generated quantities {
  int x_predict;
  x\_predict = poisson\_rng(lambda) + offset;
}

类型

Stan有两种原始数据类型, 并且两者都是有界的。


  • int 是整数类型。
  • real 是浮点类型。

int<lower=1> N;real<upper=5> alpha;real<lower=-1,upper=1> beta;real gamma;real<upper=gamma> zeta;

实数扩展到线性代数类型。


vector\[10\] a;     // 列向量matrix\[10, 1\] b;row_vector\[10\] c; // 行向量matrix\[1, 10\] d;

整数,实数,向量和矩阵的数组均可用。

real a\[10\];
vector\[10\] b;
matrix\[10, 10\] c;

Stan还实现了各种 约束 类型。

simplex\[5\] theta;        // sum(theta) = 1ordered\[5\] o;            // o\[1\] < ... < o\[5\]positive_ordered\[5\] p;corr_matrix\[5\] C;        // 对称和cov_matrix\[5\] Sigma;     // 正定的

关于Stan的更多信息


所有典型的判断和循环语句也都可用。

if/then/elsefor (i in 1:I)while (i < I)

有两种修改 后验的方法。

y ~ normal(0, 1);target += normal_lpdf(y | 0, 1);# 新版本的Stan中已弃用:increment\_log\_posterior(log_normal(y, 0, 1))

而且许多采样语句都是 _矢量化的_。

parameters {
  real mu\[N\];
  real<lower=0> sigma\[N\];
}model {
  // for (n in 1:N)  // y\[n\] ~ normal(mu\[n\], sigma\[n\]);  y ~ normal(mu, sigma);  // 向量化版本}

贝叶斯方法


概率是 认知的。例如, 约翰·斯图亚特·米尔 (_John Stuart Mill)_说:

事件的概率不是事件本身,而是我们或其他人期望发生的情况的程度。每个事件本身都是确定的,不是可能的;如果我们全部了解,我们应该或者肯定地知道它会发生,或者它不会。

对我们来说,概率表示对它发生的期望程度。

概率可以量化不确定性。


Stan的贝叶斯示例:重复试验模型


我们解决一个小例子,其中的目标是给定从伯努利分布中抽取的随机样本,以估计缺失参数的后验分布 (成功的机会)。


步骤1:问题定义

在此示例中,我们将考虑以下结构:


数据:


  • ,试用次数。


  • ,即试验_n的_结果  (已知的建模数据)。


参数:

  • 先验分布


  • 概率


  • 后验分布

步骤2:Stan


我们创建Stan程序,我们将从R中调用它。

data {
  int<lower=0> N;               // 试验次数  int<lower=0, upper=1> y\[N\];   // 试验成功}model {
  theta ~ uniform(0, 1);        // 先验  y ~ bernoulli(theta);         // 似然}

步骤3:数据


在这种情况下,我们将使用示例随机模拟一个随机样本,而不是使用给定的数据集。

# 生成数据y = rbinom(N, 1, 0.3)y
##  \[1\] 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1
根据数据计算 _MLE_作为样本均值:
## \[1\] 0.25

步骤4:rstan使用贝叶斯后验估计

最后一步是使用R中的Stan获得我们的估算值。

## 
## SAMPLING FOR MODEL '6dcfbccbf2f063595ccc9b93f383e221' NOW (CHAIN 1).
## Chain 1: 
## Chain 1: Gradient evaluation took 7e-06 seconds
## Chain 1: 1000 transitions using 10 leapfrog steps per transition would take 0.07 seconds.
## Chain 1: Adjust your expectations accordingly!
## Chain 1: 
## Chain 1: 
## Chain 1: Iteration:    1 / 5000 \[  0%\]  (Warmup)
## Chain 1: Iteration:  500 / 5000 \[ 10%\]  (Warmup)
## Chain 1: Iteration: 1000 / 5000 \[ 20%\]  (Warmup)
## Chain 1: Iteration: 1500 / 5000 \[ 30%\]  (Warmup)
## Chain 1: Iteration: 2000 / 5000 \[ 40%\]  (Warmup)
## Chain 1: Iteration: 2500 / 5000 \[ 50%\]  (Warmup)
## Chain 1: Iteration: 2501 / 5000 \[ 50%\]  (Sampling)
## Chain 1: Iteration: 3000 / 5000 \[ 60%\]  (Sampling)
## Chain 1: Iteration: 3500 / 5000 \[ 70%\]  (Sampling)
## Chain 1: Iteration: 4000 / 5000 \[ 80%\]  (Sampling)
## Chain 1: Iteration: 4500 / 5000 \[ 90%\]  (Sampling)
## Chain 1: Iteration: 5000 / 5000 \[100%\]  (Sampling)
## Chain 1: 
## Chain 1:  Elapsed Time: 0.012914 seconds (Warm-up)
## Chain 1:                0.013376 seconds (Sampling)
## Chain 1:                0.02629 seconds (Total)
## Chain 1: 
...
## SAMPLING FOR MODEL '6dcfbccbf2f063595ccc9b93f383e221' NOW (CHAIN 4).
## Chain 4: 
## Chain 4: Gradient evaluation took 3e-06 seconds
## Chain 4: 1000 transitions using 10 leapfrog steps per transition would take 0.03 seconds.
## Chain 4: Adjust your expectations accordingly!
## Chain 4: 
## Chain 4: 
## Chain 4: Iteration:    1 / 5000 \[  0%\]  (Warmup)
## Chain 4: Iteration:  500 / 5000 \[ 10%\]  (Warmup)
## Chain 4: Iteration: 1000 / 5000 \[ 20%\]  (Warmup)
## Chain 4: Iteration: 1500 / 5000 \[ 30%\]  (Warmup)
## Chain 4: Iteration: 2000 / 5000 \[ 40%\]  (Warmup)
## Chain 4: Iteration: 2500 / 5000 \[ 50%\]  (Warmup)
## Chain 4: Iteration: 2501 / 5000 \[ 50%\]  (Sampling)
## Chain 4: Iteration: 3000 / 5000 \[ 60%\]  (Sampling)
## Chain 4: Iteration: 3500 / 5000 \[ 70%\]  (Sampling)
## Chain 4: Iteration: 4000 / 5000 \[ 80%\]  (Sampling)
## Chain 4: Iteration: 4500 / 5000 \[ 90%\]  (Sampling)
## Chain 4: Iteration: 5000 / 5000 \[100%\]  (Sampling)
## Chain 4: 
## Chain 4:  Elapsed Time: 0.012823 seconds (Warm-up)
## Chain 4:                0.014169 seconds (Sampling)
## Chain 4:                0.026992 seconds (Total)
## Chain 4:
## Inference for Stan model: 6dcfbccbf2f063595ccc9b93f383e221.
## 4 chains, each with iter=5000; warmup=2500; thin=1; 
## post-warmup draws per chain=2500, total post-warmup draws=10000.## 
##         mean se\_mean   sd    10%    90% n\_eff Rhat
## theta   0.27    0.00 0.09   0.16   0.39  3821    1## lp__  -13.40    0.01 0.73 -14.25 -12.90  3998    1##
# 提取后验抽样# 计算后均值(估计)mean(theta_draws)
## \[1\] 0.2715866
# 计算后验区间
##       10%       90% 
## 0.1569165 0.3934832
 ggplot(theta\_draws\_df, aes(x=theta)) +
  geom_histogram(bins=20, color="gray")

RStan:MAP,MLE

Stan的估算优化;两种观点:

  • _最大后验_估计_(MAP)_。
  • _最大_似然估计(_MLE_)。
optimizing(model, data=c("N", "y"))
## $par
## theta 
##   0.4
## 
## $value
## \[1\] -3.4## 
## $return_code
## \[1\] 0

种群竞争模型 ---Lotka-Volterra模型


  • 洛特卡(Lotka,1925)和沃尔泰拉(Volterra,1926)制定了参数化微分方程,描述了食肉动物和猎物的竞争种群。
  • 完整的贝叶斯推断可用于估计未来(或过去)的种群数量。
  • Stan用于对统计模型进行编码并执行完整的贝叶斯推理,以解决从噪声数据中推断参数的逆问题。

在此示例中,我们希望根据公司每年收集的毛皮数量,将模型拟合到1900年至1920年之间各自种群的加拿大猫科食肉动物和野兔猎物。


数学模型


我们表示U(t)和V(t)作为猎物和捕食者种群数量 分别。与它们相关的微分方程为:

这里:

  • α:猎物增长速度。
  • β:捕食引起的猎物减少速度。
  • γ:自然的捕食者减少速度。
  • δ:捕食者从捕食中增长速度。


stan中的Lotka-Volterra

real\[\] dz_dt(data real t,       // 时间  real\[\] z,                     // 系统状态  real\[\] theta,                 // 参数  data real\[\] x_r,              // 数值数据  data int\[\] x_i)               // 整数数据{
  real u = z\[1\];                // 提取状态  real v = z\[2\];

观察到已知变量:


:表示在时间 物种数量

必须推断未知变量):


初始状态: :k的初始物种数量。


后续状态 :在时间t的物种数量k。


参量

假设误差是成比例的(而不是相加的):

等效:


建立模型


已知常数和观测数据的变量。

data {
  int<lower = 0> N;       // 数量测量  real ts\[N\];             // 测量次数>0  real y0\[2\];             // 初始数量  real<lower=0> y\[N,2\];   // 后续数量}
未知参数的变量。
parameters {
  real<lower=0> theta\[4\];    // alpha, beta, gamma, delta  real<lower=0> z0\[2\];       // 原始种群  real<lower=0> sigma\[2\];    // 预测误差}
先验分布和概率。
model {
  // 先验  sigma ~ lognormal(0, 0.5);
  theta\[{1, 3}\] ~ normal(1, 0.5);
  // 似然(对数正态)  for (k in 1:2) {
    y0\[k\] ~ lognormal(log(z0\[k\]), sigma\[k\]);

我们必须为预测的总体定义变量 :

  • 初始种群(z0)。
  • 初始时间(0.0),时间(ts)。
  • 参数(theta)。
  • 最大迭代次数(1e3)。
Lotka-Volterra参数估计
print(fit, c("theta", "sigma"), probs=c(0.1, 0.5, 0.9))
获得结果:
               mean  se\_mean   sd  10%  50%  90%  n\_eff  Rhat
## theta\[1\]    0.55    0     0.07 0.46 0.54 0.64   1168     1## theta\[2\]    0.03    0     0.00 0.02 0.03 0.03   1305     1## theta\[3\]    0.80    0     0.10 0.68 0.80 0.94   1117     1## theta\[4\]    0.02    0     0.00 0.02 0.02 0.03   1230     1## sigma\[1\]    0.29    0     0.05 0.23 0.28 0.36   2673     1## sigma\[2\]    0.29    0     0.06 0.23 0.29 0.37   2821     1

分析所得结果:

  • Rhat接近1表示收敛;n_eff是有效样本大小。
  • 10%,后验分位数;例如
  • 后验均值是贝叶斯点估计:α=0.55。
  • 后验平均估计的标准误为0。
  • α的后验标准偏差为0.07。


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