本案例研究说明了卡尔曼滤波器的设计和仿真。考虑稳态和时变卡尔曼滤波器。
植物动力学
考虑一个在输入u[n]上有加性高斯噪声w[n]。
此外，让 yv[n] 是输出 y[n] 的噪声测量，其中 v[n] 表示测量噪声：
离散卡尔曼滤波器
该问题的稳态卡尔曼滤波器方程如下。
- 测量更新：
- 时间更新：
在这些方程中：
- ˆx[n|n−1] 是 x[n] 的估计值，给定过去直到 yv[n−1] 的测量值。
- ˆx[n|n] 是基于最后一次测量 yv[n] 的更新估计。
给定当前估计 ˆx[n|n]，时间更新预测下一个样本_n_ + 1的状态值 （提前一步预测）。然后，测量更新基于新的测量值 yv[n+1] 调整该预测。修正项是新值的函数，即 y[n+1] 的测量值和预测值之间的差异。这种差异由下式给出：
给定噪声协方差，选择创新增益 M 以最小化估计误差的稳态协方差：
您可以将时间和测量更新方程组合到一个状态空间模型中，即卡尔曼滤波器：
该滤波器生成 yn 的最佳估计 ˆy[n|n]。请注意，过滤器状态是 ˆx[n|n−1]。
稳态设计
您可以使用函数 设计上述稳态卡尔曼滤波器 kalman。首先指定带有过程噪声的工厂模型：
这里，第一个表达式是状态方程，第二个是测量方程。
以下命令指定此工厂模型。采样时间设置为 -1，以将模型标记为离散模型而不指定采样时间。
Pla = s
假设 Q = R = 1，设计离散卡尔曼滤波器。
kalm
此命令返回kalmf 滤波器的状态空间模型 以及创新增益 M。
M
kalmf 的输入 是 u 和 yv，以及。输出是工厂输出和状态估计，ye=ˆy[n|n] 和 ˆx[n|n]。
因为您对输出估计 ye 感兴趣，所以选择第一个输出 kalmf 并丢弃其余的。
kalmf
要查看滤波器的工作原理，请生成一些输入数据和随机噪声，并将滤波后的因变量 ye 与真实因变量 _y 进行比较_。您可以单独生成每个因变量，也可以同时生成两者。要分别模拟每个因变量，先单独使用 植物，然后将植物和过滤器连接在一起。接下来详细介绍联合仿真替代方案。
下面的框图显示了如何生成真实输出和过滤输出。
您可以使用函数和 构建此框图的状态空间模型 。首先构建一个完整的工厂模型，以 u_、 _w_、 _v 作为输入， y 和 yv（测量值）作为输出。
s(a,b,c,d,-1,'iptnme',{'u' 'w' 'v'},'ouutnae',{'y' 'yv'});
然后形成下图的并联。
pal(P,kf,1,1,\[\],\[\]);
最后，通过将设备输出 yv 连接到具有正反馈的过滤输入 yv 来关闭传感器回路。
Smoe = feedback; % 围绕输入#4和输出#2关闭循环 SiMe = SMdl % 从I/O列表中删除yv
生成的仿真模型将 w_、 _v_、 _u 作为输入， y 和 ye 作为输出。查看属性进行验证。
InuNe OupNme
您现在已准备好模拟过滤器。生成正弦输入 u 并处理和测量噪声向量 w 和 _v_。
n = length w = sqrt*randn v = sqrt*randn
模拟因变量。
\[out,x\] = lsim y = out; % 真实响应 ye = out; % 滤过的响应 yv = y + v; % 测量响应
以图形方式比较真实和过滤后的因变量。
plot xlabel title subplot xlabel
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卡尔曼滤波器：用R语言中的KFAS建模时间序列
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第一个图显示了真实因变量 y （虚线）和过滤后的输出 ye（实线）。第二个图将测量误差（点划线）与估计误差（实线）进行比较。该图显示噪音水平已显着降低。这是通过计算协方差误差来确认的。滤波前的误差协方差（测量误差）为：
MEro = sum/length 滤波后的误差协方差（估计误差）降低： EsrCv = sum/length
时变卡尔曼滤波器
时变卡尔曼滤波器是对时变系统或具有非平稳噪声协方差的 LTI 系统的稳态滤波器的推广。
考虑以下工厂状态和测量方程。
时变卡尔曼滤波器由以下递归给出：
- 测量更新：
- 时间更新：
这里，ˆx[n|n−1] 和 ˆx[n|n] 如前所述。此外：
为简单起见，表示状态空间矩阵的时间依赖性的下标已被删除。
给定初始条件 x[1|0] 和 P[1|0]，您可以迭代这些方程来执行过滤。您必须在每个时间样本更新状态估计 x[n|.] 和误差协方差矩阵 P[n|.]。
时变设计
要实现这些滤波器递归，首先要生成噪声输出测量值。使用 之前产生的过程噪声 w 和测量噪声 v。
y = lsim
假设以下初始条件：
用for 循环实现时变滤波器 。
P = B\*Q\*B'; %初始误差协方差 x = zeros; % 状态的初始条件 for i = 1:length % 测量更新 erv(i) = C\*P\*C'; % 时间更新 x = A\*x + B\*u;
以图形方式比较真实输出和估计输出。
subplot(211) subplot xlabel
第一个图显示了真实因变量 y （虚线）和过滤后的因变量 ye（实线）。第二个图将测量误差（点划线）与估计误差（实线）进行比较。
时变滤波器还估计errcov 每个样本的估计误差 y-ye的协方差 。绘制它以查看您的滤波器是否达到稳定状态（正如您对固定输入噪声所期望的那样）。
subplot(211) plot
从这个协方差图中，您可以看到输出协方差确实在大约五个样本中达到了稳定状态。从那时起，您的时变滤波器具有与稳态版本相同的性能。
与由实验数据导出的估计误差协方差比较：
Esro = sum/length
该值小于理论值 errcov ，接近稳态设计获得的值。
最后，注意最终值 M[n] 和 创新增益矩阵的稳态值 _M_重合。
Mn M
