PYTHON用GARCH、离散随机波动率模型DSV模拟估计股票收益时间序列与蒙特卡洛可视化

简介: PYTHON用GARCH、离散随机波动率模型DSV模拟估计股票收益时间序列与蒙特卡洛可视化

这篇文章介绍了一类离散随机波动率模型,并介绍了一些特殊情况,包括 GARCH 和 ARCH 模型。本文展示了如何模拟这些过程以及参数估计。这些实验编写的 Python 代码在文章末尾引用。

离散随机波动率模型

是一个随机基,有一个完整的 的可测量子集 , 一个概率测量 和一个过滤

  • 因此,时间实例使用非负整数进行索引
  • 获取序列的第一个 t元素 , 记

_离散随机波动率_(   DSV) 模型中, 是一个实值 stochastic process (一系列随机变量)满足以下方程:

其中:

  • Z 是 F 的噪声过程。
  • φi 是实数,我假设 并且 gi ,hi 是非负值。
  • fi 、gi 和 h_ihi 是过程的确定性函数。
  • 过程 通常称为 _偏移_,而 σ 称为  X的_波动率。_因为σ 是一个随机过程,所以上面定义的过程 X 属于一个随机波动率模型的大家族。
  • 对于噪声过程 Z,使得每个 Z_t的均值和方差都存在,我们有 .

案例

制定通用 DSV 模型的特化:

后移算子 ,对于 ,产生其参数过程的滞后版本,即 , 和 , 如果 . 例如

为方便起见,我设置 .

对于下面列表中的所有特殊情况,我假设函数 fi 、gi 和 h_i 从参数过程中选择一个元素,即 , 和 .

GARCH 过程定义另外设置

_GARCH(1, 1)_过程非常流行:

ARCH 过程中,波动性具有简化形式,对于所有 i,λi = 0,并且

_ARCH(1)_过程还 满足 对所有   :

模拟

离散随机波动率模型通常用于对观察到的时间序列的对数收益进行建模。因此,为了模拟原始时间序列的路径,我们需要模拟其对数收益并计算 .

由带参数的高斯噪声驱动的 GARCH(1,1) 过程的样本路径 :

path( \[0.001, 0.2, 0.25\])
cumprod* repeat.reshape
plt.subplots

注意 σ 过程为 不能低于 ≈0.0353

最大似然估计

最大似然(ML)参数估计是所有讨论模型的选择方法,因为转换密度,即给定过去信息的 X_t 的密度 是明确已知的。因此,过程样本路径 x 的对数似然函数由下式给出

其中 ,而 是 Z的密度。将上述对数似然函数最小化可得到 的最大似然估计

.

蒙特卡罗研究

为了测试 ML 参数估计过程,我进行了以下蒙特卡罗实验。

  • 使用参数 (0.001, 0.2, 0.25) 模拟长度为 5000 的 2500 个独立 GARCH(1,1) 过程路径。我使用了高斯噪声,即 .
  • 将这些路径中的每一个都输入到 ML 估计并获得估计的参数向量 .
  • 此优化过程中参数的搜索范围限制为 [1e-8, 1]。
  • 将原始 与估计的 进行比较。
  • 使用参数向量 模拟 GARCH(1,1),计算均值和标准差,并将它们与“真实”均值和标准差(分别为 5.098 和 1.084)进行比较。

正如期望的那样,估计量 非常不准确,并且在大多数情况下,甚至不接近真实向量 。特别是,估计的 通常设置为零(参见下面的直方图)。

ps = \[0.001, 0.2, 0.25\]
cumprod * repeat
print, np.std

另一方面,来自估计的 的过程均值和标准偏差要准确得多。这是一件好事,因为我们通常更关心恢复未知数据生成过程的特征,而不是模型的真实参数值。

mes, stvs, esms 
  
    ax\[1\].hist
    fig.tight_layout

柯西噪音

噪声过程  不必归一化为均值 0 和方差 1。实际上,我们只需要确保随机变量 Zt 的分布具有密度即可。如果是这种情况,过程模拟和 ML 估计都可以按照描述的方式工作。

那么如何用从柯西分布中采样的噪声替换高斯噪声呢?在许多概率论书籍中,柯西分布被用作反例,因为它具有许多“病态”特性。例如,它没有均值,因此也没有方差。

我不知道柯西分布中的不稳定样本是什么样子的。看一下带有参数向量的 GARCH(1,1) 过程的示例路径 :

如果使用路径生成函数的时间足够长,甚至可能会生成溢出异常。因此,我用来生成上面显示的直方图的 Python 函数失败了。为了了解原因,让我们使用来自柯西分布的样本生成一些直方图:

柯西分布具有分位数函数

评估 给出

这意味着,例如,在 0.0001 的概率下,采样值大于 3183.10。为了比较,让我们计算标准正态分布的相应分位数:

norm.ppf(0.99)

norm.ppf(0.999)

norm.ppf(0.9999)

相关文章
|
2天前
|
算法 搜索推荐 Python
用python优雅实现:序列A依照序列B排序
序列排序是日常开发常见的需求。实现方式有很多,哪种方式最简洁明了? 需求:已知序列A、B拥有相同的元素,要求序列A依照序列B排序进行排序。
|
5天前
|
机器学习/深度学习 运维 算法
python时间序列异常检测ADTK
`adtk`是Python中用于无监督时间序列异常检测的工具包,包含简单算法、特征加工和流程控制。安装使用`pip install adtk`。数据要求为`DatetimeIndex`格式。异常检测包括滑动窗口统计特征、季节性拆解、降维和重构。提供了ThresholdAD、QuantileAD、InterQuartileRangeAD、GeneralizedESDTestAD等离群点检测算法,以及PersistAD和LevelShiftAD检测突变。此外,SeasonalAD用于季节性异常检测,Pipeline可组合多种算法。5月更文挑战第16天
24 5
python时间序列异常检测ADTK
|
9天前
|
索引 Python
【Python操作基础】——序列
【Python操作基础】——序列
|
9天前
|
数据采集 数据挖掘 测试技术
python、R语言ARIMA-GARCH分析南方恒生中国企业ETF基金净值时间序列分析
python、R语言ARIMA-GARCH分析南方恒生中国企业ETF基金净值时间序列分析
|
9天前
|
vr&ar Python
Python自激励阈值自回归(SETAR)、ARMA、BDS检验、预测分析太阳黑子时间序列数据
Python自激励阈值自回归(SETAR)、ARMA、BDS检验、预测分析太阳黑子时间序列数据
|
9天前
|
Python
Python随机波动性SV模型:贝叶斯推断马尔可夫链蒙特卡洛MCMC分析英镑/美元汇率时间序列数据|数据分享
Python随机波动性SV模型:贝叶斯推断马尔可夫链蒙特卡洛MCMC分析英镑/美元汇率时间序列数据|数据分享
|
3天前
|
存储 算法 安全
Python编程实验六:面向对象应用
Python编程实验六:面向对象应用
19 1
|
3天前
|
Python
Python编程作业五:面向对象编程
Python编程作业五:面向对象编程
19 1
|
2天前
|
C语言 Python
专为编程小白设计的Python零基础入门教程,GitHub星标破W
市面上大多数技术类的书籍都着重于一步步的构建系统的知识体系,并不是说这样就是不对的,但这样按部就班的学习注定了需要花费大量的时间用来掌握“基础知识”,或死记硬背,或慢慢理解。 然而世界不会迁就你,而是在步步紧逼的告诉你要赶紧学完,赶紧找工作,赶紧挣钱,这才是你生活的基础。 今天给小伙伴们带来了一份《编程小白的第一步Python书》,这本书是专为零基础小白设计的,不会告诉“先学C语言,会更好理解Python”这种狗屁道理。而是先带你掌握搭建项目所用到的最少得知识,再真实的项目搭建中实践自己的所学,逐渐的完善知识体系
|
3天前
|
存储 人工智能 自然语言处理
Python编程实验五:文件的读写操作
Python编程实验五:文件的读写操作
11 0