什么是PCR？（PCR = PCA + MLR）
• PCR是处理许多 x 变量的回归技术
• 给定 Y 和 X 数据：
• 在 X 矩阵上进行 PCA
– 定义新变量：主成分（分数）
• 在 多元线性_回归_(_MLR_) 中使用这些新变量中的一些来建模/预测 Y
• Y 可能是单变量或多变量。
例子
# 对数据 set.seed(123) da1 <- marix(c(x1, x2, x3, x4, y), ncol = 5, row = F)
多元线性回归和逐步剔除变量，手动：
# 对于data1：（正确的顺序将根据模拟情况而改变）。 lm(y ~ x1 + x2 + x3 + x4) lm(y ~ x2 + x3 + x4) lm(y ~ x2 + x3) lm(y ~ x3)
配对关系图
pais(atix, ncol = 5, byrow = F
如果对data2重复以上过程：
# 对于data2: lm(y ~ x1 + x2 + x3 + x4) lm(y ~ x1 + x2 + x4) lm(y ~ x2 + x4) lm(y ~ x2)
数据集 2 的绘图：
使用四个 x 的均值作为单个变量来分析两个数据集：
xn1 <- (dt1\[,1\] + a1\[,2\] + at1\[,3\] + dt1\[,4\])/4 lm(data1\[,5\] ~ xn1) lm(data2\[,5\] ~ xn2)
检查一下X数据的PCA的载荷loading是什么。
# 几乎所有的方差都在第一主成分解释。 prnmp(dt1\[,1:4\])
# 第一个成分的载荷 picp(dta1\[,1:4\])$lads\[,1\]
它们几乎相同，以至于第一个主成分本质上是四个变量的平均值。让我们保存一些预测的 beta 系数 - 一组来自数据 1 的完整集和一组来自均值分析的：
c1 <- smry(lm(dta1\[,5\] ~ dta1\[,1\] + dta1\[,2\] + ata1\[,3\] + dt1\[,4\]))$coficns\[,1\] f <- summry(rm2)$cefets\[,1\]
我们现在模拟三种方法（完整模型、均值（=PCR）和单个变量）在 7000 次预测中的表现：
# 对预测进行模拟。 误差<- 0.2 xn <- (x1 + x2 + x3 + x4)/4 yt2 <- cf\[1\] + cf\[2\] * xn yht3 <- cf\[1\] + cf\[2\] * x3 bro(c(um((y-hat)^2)/7000 min = "平均预测误差平方")
PCR 分析误差最小。
示例：光谱类型数据
构建一些人工光谱数据：（7 个观测值，100 个波长）
# 光谱数据实例
mapot(t(spcra) ) mtlnes(t(spcra))
平均光谱表明：
mtpot(t(secra)) malies(t(spcta)) mnp <- apply(spcra, 2, mean) lines(1:100, mnp, lwd = 2)
平均中心光谱：
spcamc<-scae(spcta,scale=F) plot(t(spermc),tpe="")
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偏最小二乘回归（PLSR）和主成分回归（PCR）
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标准化光谱：
sptracs<-scale(spetra,scale=T,center=T)
matott(specrams),tye="n",
matlies(t(sectramcs))
# 用特征函数对相关矩阵做PCA。 pcaes <- eien(cor(spra)) ladigs <- pces$vectors\[,1\]. score <- peramcs%*%t(t(lodis1)) pred <- soes1 %*% loadings1 ## 1-PCA预测值转换为原始尺度和平均值。 mtrx(repeasp, 7), nro=7, brw=T) 在单个概览图中收集的所有图： par(mfrow = c(3, 3) matlot(t(sectr)
PCR是什么？
• 数据情况：
• 用A 主成分t1、t2... 做MLR而不是所有（或部分）x。
• 多少个成分：通过交叉验证确定。
怎么做？
1. 探索数据
2. 进行建模（选择主成分数量，考虑变量选择）
3. 验证（残差、异常值、影响等）
4. 迭代 2. 和 3。
5. 解释、总结、报告。
6. 如果相关：预测未来值。
交叉验证
• 忽略一部分观察值
• 在剩余（减少的）数据上拟合模型
• 预测模型遗漏的观察值：yˆi,val
• 对所有观察值依次执行此操作并计算总体模型性能：
（预测的均方根误差）
最后：对所有选择的分量（0、1、2、...、... ）进行交叉验证并绘制模型性能
barplot(names.arg)
选择最佳成分数：
• 总体误差最小的主成分。
重采样
• 交叉验证 (CV)
•留一法(_Leave-On_e-_Out_,简称LOO)
• Bootstrapping
• 一个很好的通用方法：
– 将数据分成训练集和测试集。
– 在训练数据上使用交叉验证
– 检查测试集上的模型性能
– 可能：重复所有这些多次（重复双交叉验证）
交叉验证 - 原则
• 最小化预期预测误差：
平方预测误差 = Bias2 +方差
• 包括“许多”PC主成分：低偏差，但高方差
• 包括“很少”PC 主成分：高偏差，但低方差
• 选择最佳折衷！
验证 - 存在于不同的级别
1. 分为 3 个：训练（50%）、验证（25%）和测试（25%）
2. 拆分为 2：校准/训练 (67%) 和测试 (33%)
训练中，CV/bootstrap •更常用
3. 没有 "固定分割"，而是通过CV/bootstrap反复分割，然后在每个训练组内进行CV。
4. 没有分割，但使用（一级）CV/bootstrap。
5. 只对所有数据进行拟合--并检查误差。
示例：汽车数据
# 例子：使用汽车数据。 # 将X矩阵定义为数据框中的一个矩阵。 mtas$X <- as.ix(mcas\[, 2:11\]) # 首先，我们考虑随机选择4个属性作为测试集 mtcrs_EST<- mtcrs\[tcars$rai == FASE,\] 。 tcaTRAIN <- mtars\[tcarstrai == TUE,\] 。
现在所有的工作都在 训练数据集上进行。
探索数据
我们之前已经这样做了，所以这里不再赘述
数据建模
使用pls软件包以最大/大量的主成分运行PCR。
# 使用pls软件包，以最大/较大的成分数运行PCR。 pls(lomg ~ X , ncop = 10, dta = marsTRAN, aliaon="LOO") 初始图集： # 初始化的绘图集。 par(mfrow = c(2, 2) plot(mod)
主成分的选择：
# 主成分的选择。 # 分段的CV会得到什么。 modseCV <- pcr(lomg ~ X , ncp = 10, dta = marTIN vai ="CV" ) # 初始图集。 par(mfrow = c(1, 2)) plot(odsC, "vadaion")
让我们看看更多的主成分：
# 让我们看看更多的主成分。 # 分数。 scre(mod)
#负荷 loading(md,cms = 1:4)
我们选择 3 个主成分：
# 我们选择4个成分 m <- ncmp = 3, data = mrs_TAI vdon = "LOO", akknie = RUE
然后：验证：
让我们验证更多：使用 3 个主成分。我们从中获取预测的残差，因此这些是（CV）验证版本！
oit <- ppo(mod3, whih = "litin") plot(obft\[,2\], Rsds) # 为了绘制残差与X-杠杆的对比，我们需要找到X-杠杆。 # 然后找到杠杆值作为Hat矩阵的对角线。 # 基于拟合的X值。 Xf <- sors(md3) plot(lvge, abs(Rsidals)) text(leage, abs(Reuls))
# 让我们也绘制一下残差与每个输入X的关系。 for ( i in 2:11){ plot(res~masAN,i ,i,type="n") }
解释/结论
现在让我们看一下结果——“解释/结论”：
# 现在我们来看看结果 - 4) "解释/结论" par(mfrw = c(2, 2)) # 绘制具有Jacknife不确定性的系数。 obfi <- red(mod3,, wich = "vltn) abe(lm(ft,2 ,2 ~ fit,1 ,1) plt(mo3, ses = TUE,)
# 最后是一些输出 test(mo3, nm = 3)
预测
# 现在让我们试着预测TEST集的4个数据点。 prdit(md3, nwaa =TEST) plt(TEST$lgg, pes)
rmsep <- sqrt(men(log - prd)^2)) rmsep
