本文我们对逻辑回归和样条曲线进行介绍。
logistic回归基于以下假设：给定协变量x，Y具有伯努利分布，
目的是估计参数β。
回想一下，针对该概率使用该函数是
（对数）似然函数
对数似然
其中 
。数值方法基于（数值）下降梯度来计算似然函数的 最大值。对数似然（负）是以下函数
negLogLik = function(beta){ -sum(-y*log(1 + exp(-(X%*%beta))) - (1-y)*log(1 + exp(X%*%beta))) }
现在，我们需要一个起始点来启动算法
optim(par = beta_init, negLogLik, hessian=TRUE, method = "BFGS", control=list(abstol=1e-9))
在这里，我们得到
logistic_opt$par (Intercept) FRCAR INCAR INSYS 1.656926397 0.045234029 -2.119441743 0.204023835 PRDIA PAPUL PVENT REPUL -0.102420095 0.165823647 -0.081047525 -0.005992238
让我们在这里验证该输出是否有效。例如，如果我们（随机）更改起点的值会怎么样
plot(v_beta) par(mfrow=c(1,2)) hist(v_beta[,1],xlab=names( )[ ]) hist(v_beta[,2],xlab=names( )[2])
这里有个问题。注意，我们不能在这里进行数值优化。我们可以考虑使用其他优化方法
logLikelihoodLogitStable = function(vBeta, mX, vY) { -sum(vY*(mX %*% vBeta - log(1+exp(mX %*% vBeta) + (1-vY)*(-log(1 + exp(mX %*% vBeta)) optimLogitLBFGS = optimx(beta_init, logLikelihoodLogitStable,
最优点
结果不理想。
我们使用的技术基于以下思想，
问题是我的计算机不知道一阶和二阶导数。
可以使用这种计算的函数
logit = function(x){1/(1+exp(-x))} for(i in 1:num_iter){ grad = (t(X)%*%(logit(X%*%beta) - y)) beta = beta - ginv(H)%*%grad LL[i] = logLik(beta, X, y)
以我们的OLS起点，我们获得
如果我们尝试另一个起点
一些系数非常接近。然后我们尝试其他方法。
牛顿（或费舍尔）算法
在计量经济学教科书里，您可以看到：
beta=as.matrix(lm(Y~0+X)$coefficients for(s in 1:9){ pi=exp(X%*%beta[,s])/(1+exp(X%*%beta[,s])) gradient=t(X)%*%(Y-pi) omega=matrix(0,nrow(X),nrow(X));diag(omega)=(pi*(1-pi))
在这里观察到，我仅使用该算法的十次迭代。
事实是，收敛似乎非常快。而且它相当鲁棒，看看我们改变起点会得到什么
beta=as.matrix(lm(Y~0+X)$coefficients,ncol=1)*runif(8) for(s in 1:9){ pi=exp(X%*%beta[,s])/(1+exp(X%*%beta[,s])) gradient=t(X)%*%(Y-pi) omega=matrix(0,nrow(X),nrow(X));diag(omega)=(pi*(1-pi)) Hessian=-t(X)%*%omega%*%X beta=cbind(beta,beta[,s]-solve(Hessian)%*%gradient)} beta[,8:10]
效果提高了，并且可以使用矩阵的逆获得标准偏差。
普通最小二乘
我们更进一步。我们已经看到想要计算类似
但是实际，这是一个标准的最小二乘问题
这里唯一的问题是权重Δold是未知β的函数。但是实际上，如果我们继续迭代，我们应该能够解决它：给定β，我们得到了权重，并且有了权重，我们可以使用加权的OLS来获取更新的β。这就是迭代最小二乘的想法。
该算法
beta_init = lm(PRONO~.,data=df)$coefficients for(s in 1:1000){ omega = diag(nrow(df)) diag(omega) = (p*(1-p))
输出在这里
结果很好，我们在这里也有估计量的标准差
标准逻辑回归glm函数：
当然，可以使用R内置函数
可视化
让我们在第二个数据集上可视化从逻辑回归获得的预测
image(u,u,v ,breaks=(0:10)/10) points(x,y,pch=19 ) points(x,y,pch=c(1,19) contour(u,u,v,levels = .5
这里的水平曲线-或等概率-是线性的，因此该空间被一条直线（或更高维的超平面）一分为二（0和1，生存和死亡，白色和黑色）此外，由于我们是线性模型，因此，如果更改截距（为创建两个类别的阈值），我们将获得平行的另一条直线（或超平面）。
接下来，我们将约会样条曲线以平滑那些连续的协变量。
分段线性样条函数
我们从“简单”回归开始（只有一个解释变量），我们可以想到的最简单的模型来扩展我们上面的线性模型， 是考虑一个分段线性函数，它分为两部分。最方便的方法是使用正部函数 
（如果该差为正，则为x和s之间的差，否则为0）。如
是以下连续的分段线性函数，在s处划分。
对于较小的x值，线性增加，斜率β1；对于较大的x值，线性减少。因此，β2被解释为斜率的变化。
当然，可以考虑多个结。获得正值的函数如下
pos = function(x,s) (x-s)*(x<=s)
然后我们可以在回归模型中直接使用它
回归的输出在这里
Coefficients: Estimate Std. Error z value Pr(>|z|) (Intercept) -0.1109 3.2783 -0.034 0.9730 INSYS -0.1751 0.2526 -0.693 0.4883 pos(INSYS, 15) 0.7900 0.3745 2.109 0.0349 * pos(INSYS, 25) -0.5797 0.2903 -1.997 0.0458 *
因此，对于很小的值，原始斜率并不重要，但是在15以上时，它会变得明显为正。而在25以上，又发生了重大变化。我们可以对其进行绘图以查看发生了什么
plot(u,v,type="l") points(INSYS,PRONO) abline(v=c(5,15,25,55)
使用bs（）线性样条曲线
使用GAM模型，情况略有不同。我们将在这里使用所谓的 b样条曲线，
我们可以用边界结点（5,55）和结 {15,25}定义样条函数
B = bs(x,knots=c(15,25),Boundary.knots=c(5,55),degre=1) matplot(x,B,type="l",lty=1,lwd=2,col=clr6)
如我们所见，此处定义的函数与之前的函数不同，但是在每个段（5,15）（15,25）和（25,55）。但是这些函数（两组函数）的线性组合将生成相同的空间。换个角度说，对输出的解释会不同，预测应该是一样的。
Coefficients: Estimate Std. Error z value Pr(>|z|) (Intercept) -0.9863 2.0555 -0.480 0.6314 bs(INSYS,..)1 -1.7507 2.5262 -0.693 0.4883 bs(INSYS,..)2 4.3989 2.0619 2.133 0.0329 * bs(INSYS,..)3 5.4572 5.4146 1.008 0.3135
观察到像以前一样存在三个系数，但是这里的解释更加复杂了
但是，预测结果很好。
分段二次样条
让我们再往前走一步...我们是否也可以具有导数的连续性？考虑抛物线函数，不要对 
和 
进行分解，考虑对 
和 
进行分解。
Coefficients: Estimate Std. Error z value Pr(>|z|) (Intercept) 29.9842 15.2368 1.968 0.0491 * poly(INSYS, 2)1 408.7851 202.4194 2.019 0.0434 * poly(INSYS, 2)2 199.1628 101.5892 1.960 0.0499 * pos2(INSYS, 15) -0.2281 0.1264 -1.805 0.0712 . pos2(INSYS, 25) 0.0439 0.0805 0.545 0.5855
不出所料，这里有五个系数：截距和抛物线函数的三个参数，然后是中间两个附加项–此处（15,25）–以及右侧的部分。当然，对于每个部分，只有一个自由度，因为我们有一个抛物线函数（三个系数），但是有两个约束（连续性和一阶导数的连续性）。
在图上，我们得到以下内容
使用bs（）二次样条
当然，我们可以使用R函数执行相同的操作。但是和以前一样，这里的函数有所不同
matplot(x,B,type="l",col=clr6)
如果我们运行R代码，得到
glm(y~bs(INSYS knots=c(15,25), Boundary.knots=c(5,55),degre=2) Coefficients: Estimate Std. Error z value Pr(>|z|) (Intercept) 7.186 5.261 1.366 0.1720 bs(INSYS, ..)1 -14.656 7.923 -1.850 0.0643 . bs(INSYS, ..)2 -5.692 4.638 -1.227 0.2198 bs(INSYS, ..)3 -2.454 8.780 -0.279 0.7799 bs(INSYS, ..)4 6.429 41.675 0.154 0.8774
预测是完全相同的
plot(u,v,ylim=0:1,type="l",col="red")
三次样条
我们可以使用三次样条曲线。我们将考虑对 
进行分解，得到时间连续性，以及前两个导数的连续性。如果我们使用bs函数，则如下
matplot(x,B,type="l",lwd=2,col=clr6,lty=1 abline(v=c(5,15,25,55),lty=2)
现在的预测将是
bs(x,knots=c(15,25), Boundary.knots=c(5,55),degre=3
结的位置
在许多应用程序中，我们不想指定结的位置。我们只想说（三个）中间结。可以使用
bs(x,degree=1,df=4)
可以查看
bs(x, degree = 1L, knots = c(15.8, 21.4, 27.15), Boundary.knots = c(8.7, 54), intercept = FALSE)
它为我们提供了边界结的位置（样本中的最小值和最大值），也为我们提供了三个中间结。观察到实际上，这五个值只是（经验）分位数
quantile( ,(0:4)/4) 0% 25% 50% 75% 100% 8.70 15.80 21.40 27.15 54.00
如果我们绘制预测，我们得到
plot(u,v,ylim=0:1,type="l",col="red",lwd=2)
如果我们回到logit变换之前的计算，我们清楚地看到断点是不同的分位数
plot(x,y,type="l",col="red",lwd=2) abline(v=quantile(my ,(0:4)/4),lty=2)
如果我们没有指定，则不会得到任何结…
bs(x, degree = 2L, knots = numeric(0), Boundary.knots = c(8.7,54), intercept = FALSE)
如果我们看一下预测
predict(reg,newdata=data.frame(u),type="response")
实际上，这和二次多项式回归是一样的（如预期的那样）
相加模型
现在考虑第二个数据集，包含两个变量。这里考虑一个模型
然后我们用glm函数来实现相加模型的思想。
glm(y~bs(x1,degree=1,df=3)+bs(x2,degree=1,df=3), family=binomial(link = v = outer(u,u,p) image(u,u,v, ",col=clr10,breaks=(0:10)/10)
现在，我们能够得到一个“完美”的模型，所以，结果似乎不再连续
persp(u,u,v,theta=20,phi=40,col="green"
当然，它是分段线性的，有超平面，有些几乎是垂直的。
我们也可以考虑分段二次函数
contour(u,u,v,levels = .5,add=TRUE)
有趣的是，我们现在有两个“完美”的模型，白点和黑点的区域不同。
在R中，可以使用mgcv包来运行gam回归。它用于广义相加模型，但这里只有一个变量，所以实际上很难看到“可加”部分，可以参考其他GAM文章。
