最大似然估计(maximum likelihood estimation, MLE)一种重要而普遍的求估计量的方法。最大似然估计明确地使用概率模型，其目标是寻找能够以较高概率产生观察数据的系统发生树。最大似然估计是一类完全基于统计的系统发生树重建方法的代表。
是不是，有点看不懂，太学术了，我们举例说明~
假如有一个罐子，里面有黑白两种颜色的球，数目多少不知，两种颜色的比例也不知。我们想知道罐中白球和黑球的比例，但我们不能把罐中的球全部拿出来数。现在我们可以每次任意从已经摇匀的罐中拿一个球出来，记录球的颜色，然后把拿出来的球再放回罐中。这个过程可以重复，我们可以用记录的球的颜色来估计罐中黑白球的比例。假如在前面的一百次重复记录中，有七十次是白球，请问罐中白球所占的比例最有可能是多少？
很多小伙伴，甚至不用算，凭感觉，就能给出答案：70%！
下面是详细推导过程：
最大似然估计，计算
白球概率是p，黑球是1-p（罐子中非黑即白）
罐子中取一个请问是白球的概率是多少？
- $$p$$
罐子中取两个球，两个球都是白色，概率是多少？
- $$p^2$$
罐子中取5个球都是白色，概率是多少？
- $$p^5$$
罐子中取10个球，9个是白色，一个是黑色，概率是多少呢？
- $C{10}^1 = C{10}^1$ 这个两个排列组合公式是相等的~
- $$C_{10}^9p^9(1-p) = C_{10}^1p^9(1-p)$$
罐子取100个球，70次是白球，30次是黑球，概率是多少？
$$P = C_{100}^{30}p^{70}(1-p)^{30}$$
最大似然估计，什么时候P最大呢？
$C_{100}^{30}$是常量，可以去掉！
p > 0，1- p > 0，所以上面概率想要求最大值，那么求导数即可！
$$P' = 70*p^{69}*(1-p)^{30} + p^{70}*30*(1-p)^{29}*(-1)$$
令导数为0：
$$0 = 70*p^{69}*(1-p)^{30} +p^{70}*30*(1-p)^{29}*(-1)$$
公式化简：
$$0 = 70*(1-p) - p*30$$
$$0 = 70 - 100*p$$
p = 70%
